双曲线的标准方程和简单的几何性质.docVIP

双曲线的标准方程及简单的几何性质第一部分双曲线及其标准方程 ??? 学习目标??? 1、掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导，能根据条件确定双曲线的标准方程。??? 2、培养的分析能力、归纳能力、推理能力。??? 3、进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是要熟练掌握用定义法、待定系数法求双曲线标准方程的方法。??? 4、会利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。??? 5、培养分析能力、归纳能力、推理能力和数学的应用能力。 ??? 重点难点??? 重点：双曲线的定义及其标准方程；??? 难点：1、双曲线标准方程的推导；2、利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。 ??? 例题分析 第一阶梯 ??? [例1]已知两定点F1（-5，0）、F2（5，0），求与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于6的点的轨迹方程。??? 分析：根据双曲线的定义可知，动点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，又由焦点位置可知，所求的点的轨迹方程是双曲线的标准方程。??? 解：??? 由题意可知，所求点的轨迹是双曲线，其方程可设为 ，这里2a=6,2c=10. ??? ??? 变题：如将本题条件中的6改为10，其余条件不变，求解本题。??? 解：由条件可知，所求点的轨迹是两条射线，其方程为y=0(x≤-5或x≥5)??? 注意：在求解轨迹方程的问题时，要注意应用有关曲线的定义去判断所求的点的轨迹是什么曲线，如是已经研究过的曲线，则可用曲线的标准方程去求解。 ??? [例2] ??? 分析：分别求出椭圆及双曲线的焦点即可。??? 证明：易得椭圆的两个焦点为（-4，0）、（4，0），双曲线的两个焦点也为（-4，0）、（4，0）。 ??? [例3] ??? ??? 分析 ??? 迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。 ??? 解：在△ABC中，|BC|=10，??? ??? 故项点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。 ??? 第二阶梯 ??? [例4] ???? ??? A、1?????????? ??????????? C、2??????????? ??? 解： ??? +|PF2|2-|PF1||PF2|=16，因为∠F1PF2=90°，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=20.所以? ??? 评注：本题考查双曲线的基础知识以及计算能力和推理能力。 ??? [例5]在周长为48的直角三角形MPN中，∠MPN=90°， 求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程。??? 思路分析：首先应建立适当的坐标系，由于M、N为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程。由双曲线定义可知||PM|-|PN||=2a,|MN|=c,所以利用条件确定△MPN的边长是关键。 ????????? ??? 解答：??? ??? ∴设|PN|=3k，|PM|=4k,则|MN|=5k,??? 由3k+4k+5k=48,得k=4.??? ∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20. ???? ??? 由|PM|-|PN|=4，得2a=4,a=2,a2=4.??? 由|MN|=20,得2c=20,c=10.??? ???? ??? [例6] ??? ? ??? 思路分析：利用双曲线的定义求解。??? 解答：??? ??? 由P是双曲线上一点，得||PF1|-|PF2||=16。 ??? ∴|PF2|=1或|PF2|=33。 ??? 又|PF2|≥c-a=2，得|PF2|=33. 第三阶梯 ??? [例7] ??? 交点，则|PF1|·|PF2|的值是（ ）??? ? ????????????? ??? 思路分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到|PF1|和|PF2| 的关系式，再变形得结果。??? 解答：??? ??? ????? 两式平方相减，得4|PF1|·|PF2|=4(m-s)，故|PF1|·|PF2|=m-s。故选A。 ??? [例8] ??? ? ??? 解：??? 由题意得F1（-5，0），F2（5，0）。设点P的坐标为(x0,y0) ??? 又PF1⊥PF2，则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2， ??? ??? 评注：本题考查双曲线的方程等基础知识。 ??? [例9]已知动圆与定圆C1：(x+5)2+y2=49,C2:(x-5)2+y2=1都外切，求动圆圆心的轨迹方法。??? 分析：设动圆圆心为P(x,y),半径为r,则题意可得C1(-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.|PC1|=r+7,|PC2|=r+1,|PC1|-|P