向量正余弦理论知识点点.docVIP

第二章 平面向量 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度（模）． 零向量：长度为的向量叫零向量,记作：．零向量的方向是任意的 单位向量：长度等于个单位的向量．(与共线的单位向量是)； 平行向量（共线向量）：：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。 注意： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性（因为有)； ④三点共线共线； 相等向量：长度相等且方向相同的向量．相等向量有传递性 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______ （答：（4）（5）） 2.向量的表示方法： （1）几何表示：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，，等； （3）坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：． （几何意义：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） ⑷运算性质：①交换律：； ②结合律：； ③． ⑸坐标运算：设，，则． 4、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．（注意：此处减向量与被减向量的起点相同） ⑵坐标运算：设，， 则． 设、两点的坐标分别为，， 则． 5、向量数乘运算： ⑴实数与向量的积是一个向量，记作． ①； ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，． ⑵运算律：①；②；③． ⑶坐标运算：设，则． 6、向量共线定理： 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使． 设，，其中，则当且仅当时，向量、共线． 7、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底 例：（1）若，则_______ （答：）； （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）； 8、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是． 9、平面向量的数量积： （1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作， 称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。 （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作：，即＝ 规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不是向量。 （3）平面向量的数量积的性质：设和都是非零向量，其夹角为 则①． ②当与同向时，；当与反向时，；或． ③． （4）运算律：①； ②； ③． （5）坐标运算：设两个非零向量，，则． 若，则，或． （6）向量垂直的充要条件： ． 设、都是非零向量，，，是与的夹角，则 ． 10、在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。 11、平移公式：如果点按向量平移至，则； 曲线按向量平移得曲线. 12、重心问题：为的重心； 重心坐标公式：在中，若，则其重心的坐标为。 正余弦定理 1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有． 2、正弦定理的变形公式：①，，； ②，，； ③； ④． 3、三角形面积公式：． 4、余弦定理：在中，有，， ． 5、余弦定理的推论：，，． 6、设、、是的角、、的对边，则：①若，则； ②若，则；③若，则． 7、射影定理： 8、解三角形常用三角关系式： ; 9、判断三角形形状的方法：化边为角；化角为边 注：（1）判断一个三角形为等腰三角形时，要进一步讨论它是否可能是等边三角形或者等腰直角三角形 （2）在中，由不一定有 因为