基于压缩感知稀疏信号重建迭代硬阀值算法.docVIP

基于压缩感知稀疏信号重建的迭代硬阀值算法 摘要：nyquist采样速率条件下的信号采样，采样系统表现良好并且信号可以被稀疏向量近似表示时，信号可以被有效而精确地重构。针对无噪声信号，利用确定的稀疏基和随机的观测矩阵，研究迭代硬阀值算法的有效性。若观测矩阵满足有限等距性质(rip)，且稀疏基与随机观测矩阵不相干时，通过该算法，原始信号的稀疏投影可以被高概率重构。最后，利用哈达码正交矩阵作为稀疏基，高斯随机矩阵作为观测矩阵，对原始信号的稀疏投影进行重构，结果验证了该算法的有效性。 关键词：压缩感知；稀疏基； 观测矩阵； 迭代硬阀值 引言 nyquistshannon采样定理50多年来一直作为信号获取系统的基础。运用这个理论，信号以其带宽的两倍采样，而不用考虑额外信号结构。最近涌现的压缩传感理论(compressed sensing,cs)［1］ ,假设信号在某个变换域上稀疏，运用线性变换（例如傅里叶变换、小波变换等）将信号投影到一个低维（比较于nyquist比率）空间上，则少量随机的线性投影中包含了信号的大部分信息，通过非线性解码机制可以高概率精确重建原始信号。cs运用少量的随机投影代替以nyquist比率采样，相比较于信号空间维数，稀疏限制大大减少了包含信号主要信息的空间尺度。donoho开创性工作的重要贡献之一是证明了只要采样矩阵φ满足具有一个常数参数的限制等容条件（restricted isometry property,rip），线性规划算法和贪婪算法等能高概率重建原始信号。压缩传感理论中，众多重建算法能有效地逼近最优解，例如传统的正交匹配追踪（orthogonal matching pursuit,omp）算法［2］、逐步正交匹配追踪（stagewise orthogonal matching pursuit,stomp）［3］、子空间追踪（subspace pursuit,sp）［4］以及有良好实现保证的迭代硬阀值（iterative hard thresholding,iht）［5］、正规化的迭代硬阀值（normalized iterative hard thresholding,niht）和压缩采样匹配追踪（compressive sampling matching pursuit,cosamp）算法［6］等。其中，逐步正交匹配追踪（stomp）算法利用的是软阀值迭代，通过一个软阀值，也就是一个阀值参数确定迭代中保留的项，而硬阀值迭代通过一个固定的阀值确定的非线性算子进行迭代，每次迭代中保留的项数相等。软、硬阀值算子在压缩传感中的应用均已得到广泛研究。文献［3］中stomp算法运用软阀值对应的i1模求信号的逼近解；而文献［5］中也确定了硬阀值与函数最小值间的关系，它通过满足向量非零元个数的约束，也就是i0模达到函数最小值的要求。国内关于阀值的理论及应用研究也有许多，例如文献［7］讨论了与阀值迭代下如何实现全变差，文献［8］讨论了cs在医学磁共振成像（magnetic resonance imaging,mri）当中如何实现软阀值迭代和算法的收敛性。本文利用随机高斯矩阵作为观测矩阵，稀疏基为哈达玛正交矩阵，通过迭代硬阀值算法对原始信号进行高概率重构。 1cs理论 cs理论指出，只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得的高维信号投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题从这些少量的投影中以高概率重构出原信号。在cs模型中并不是直接测量信号f本身，而是将信号f投影到观测矩阵上得到观测向量y。用矩阵表示：y=φf(1)式中：y是m×1的观测向量；φ是m×n(m0，矩阵φ就满足k阶有限等距性质。 2基于稀疏信号的迭代硬阀值算法 文献［5］为迭代硬阀值算法用于压缩传感恢复问题提供了一系列的理论保证，证明算法成功运用较少的测量向量逼近最优的信号恢复，其迭代过程如下：假设x0=0，迭代公示如下:xn+1=hk(xn+φt(y－φxn))(5)式中hk(α)是一个非线性算子，保留α值最大的k个分量，其余分量均设为零。如果没有这个集合，可以随机获取或者选择一个事前定义的元素序列。在‖φ‖20。运用matlab软件进行仿真实验。当m=8k得出如图3所示结果。 当m=128时，δ10≥0.992 5，φ仍然满足有限等距性质，重构效果如见图4所示。 重构精度（相对误差）定义为‖－f‖22‖f‖22。则当m=8k时，重构精度为0.105 8。当m=128时，重构精度是0.112 6。 图3信号稀疏投影与重构后稀疏投影图4信号稀疏投影与重构后稀疏投影4结语 通过稀疏向量表示的有限信号，可以用低于nyquist速率被采样，如果采样系统满足有限等距性质且具有一个小的约束等距常数，由压缩感知