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球面上的几何性质 余金荣 （华中师范大学数学与统计学学院 武汉430079） 自笛卡儿发明直角坐标系以来，我们就认识到：一对有序实数，可以将其在坐标系中用一个点表示。如今，我们已将数的研究范围从“实数”扩展到“复数”。通过有关的学习，我们知道一个复数也可以与坐标系中的一个点一一对应。这样将全体复数构成的集合在坐标系中进行表示，则形成了一个复平面，复平面中的每一个点唯一对应一个复数。 对于我们已经熟知的复平面及复数在其上的一些性质，现在想通过构造一个新的一一映射，使复平面上的点能够在一个三维球面上被表示，称为复数的球面几何表示。通过这样一个一一映射，我们可将对平面上的复数的研究转移到一个有限的三维空间上去，并在这个新的空间中讨论复数在其上的一些性质及关系。 为了讨论问题的需要，我们先引进一些定义和名词： 设两点，位于圆周的两侧，并位于过圆心的同一条射线上，还满足，其中为圆周的半径，则称，关于圆周对称（如图1所示）。 （图1） 现在要作出复数在球面上的几何表示。 建立三维直角坐标系，在点坐标是的三维空间中，把平面看作就是复平面。考虑球面：．取定球面上一点，称为北球极，其中称为南球极。作连接与平面上的任意一点的直线，并且设这直线与球面的交点是，它满足．那么称为在球面上的球极投影（如图2）。 （图2） 由于，及共线，我们有，从而 ． 又因为 ． 并且 ． 于是有 ．（其中为向量的模） 这样，在复平面与之间建立了一个双射．并且，如果一点的模愈大，即离点愈远，那么它的球极射影就愈接近于球极（如图2）． 称图2中的球面为复球面． 另外，其中与点对应的复平面上的带内在无穷远处，我们称这一点为复平面上的无穷远点，记为，而加入了无穷远点的复平面称为扩充复平面．由于扩充复平面比较复杂，超出了我们想要讨论的范围，在这里就不多做说明，有兴趣的读者请参阅文献[2]． 我们通过建立三维直角坐标系构造复平面与复球面之间的一一映射，使复平面上的点的表示与复球面上的点的表示可以相互转换，那么是否在复平面上具有一定关系的两个点，将它们映射到复球面上时也具有相应的关系呢？我们下面的讨论正是为此展开的。 定理1　在复平面中，设圆周：，和关于圆周对称，则和的球极投影点到圆周的球极投影所在平面距离相等的充要条件是： ， 其中． 证明：　复平面上的圆周的球极投影所在的平面是 ：． 由几何的知识易知和在球极投影上分居的两侧，因此和的球极投影点分别设为和，到的距离相等的充要条件是和的中点在上。而和的中点在上的充要条件是： 等价于 等价于 等价于 ．证毕。 通过讨论复平面上具有一定关系（关于某个圆周对称）的两点，将它们投射到复球面上以后，它们的球极投影之间也具有一定的关系。另外从定理1的结论中我们注意到下述等式： 则可得到以下推论1． 推论1　设圆周，，和关于圆周对称，则和的球极投影和到圆周的球极投影所在的平面的距离相等的充要条件是 ． 在定理１中，我们考虑的是复平面中圆周的一般方程，现将它简化，得到如下推论： 推论2　设圆周，和关于圆周对称，则和的球极投影和到圆周的球极投影所在的平面的距离相等的充要条件是．此时和的球极投影和关于平面对称． 证明　在定理1中取，可以得到：． 则，到平面的距离相等的充要条件是： 等价于 等价于 等价于 等价于 等价于 ． 在[1]中有后一结论的陈述，证毕。 　　我们通过以上方法建立的复平面与复球面之间的一一映射，可以形象地理解为将一纸平面裹成一个有体积的单位球。经过这样一次空间与空间之间的转化，有利于我们更形象地看待某些平面上比较抽象的关系。并且，对一个无穷大的平面，也可以将其有限化，这有助于我们对平面上一些性质的理解。 致谢：在本文的问题研究过程中，得到了华中师范大学数学与统计学学院的刘敏思老师的精心指导，特此深表谢意． 参考文献： [1] 方企勤．复变函数教程[M]．北京：北京大学出版社，2005．7-16． [2] 余家荣．复变函数（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2005．1-10． - 1 -