大工13秋“工程力学〔1〕”辅导资料7.docVIP

工程力学（一）辅导资料七 主 题：第静矩和形心惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积的平移轴公式和转轴公式主惯性轴和主惯性矩梁纯弯曲时横截面上正应力纯弯曲理论在横力弯曲中的推广静矩和形心静矩面积对轴的一次矩。形心：面积的几何中心。， ，符号：正、负。 图1 （2）形心：由重心的公式得均质物体形心的公式，，， 注意：截面对形心轴的静矩为零惯性矩和惯性积惯性矩：面积对轴的二次矩， （2）极惯性矩： （3）惯性积 （4）惯性半径， 图2 3、性质 （1）截面对互相垂直的两轴的惯性矩之和等于截面对该两轴交点的极惯性矩 （2）对通过O点的任意两个互相垂直轴的惯性矩之和等 （3）惯性矩永远大于零，惯性积可正、负、零。当截面有一个对称轴时，截面对包含该轴的一对轴的惯性积为零。圆截面的惯性矩和惯性积， 图4 （三）惯性矩和惯性积的平移轴公式和转轴公式平移轴公式，，，注意的符号。 图5 2、组合截面的惯性矩和惯性积，， 3、惯性矩和惯性积的转轴公式， 图6 （四）主惯性轴和主惯性矩主惯性轴：惯性积为零的一对轴。 主惯性矩：截面对主惯性轴的矩主惯性矩为极值形心主轴：主惯性轴过形心。 形心主矩：截面对形心主轴的矩梁纯弯曲时横截面上的正应力纯弯曲即梁的横截面上只有弯矩而无剪力，此时横截面上只有正应力而无切应力。纯弯下梁的变形特征平面假设 在纯弯曲下梁变形后，横截面仍保持平面，并与梁轴正交，相邻横截面只作相对转动。 各纵向纤维之间无挤压或拉伸作用，此假设称为单向受力假设。 中性层：下部纵向纤维伸长，上部纵向纤维缩短，且沿梁高度连续变化。所以，从伸长区到缩短区，其间必有一层纵向纤维，它既不伸长，也不缩短，这一层称为中性层。 中性轴：中性层和横截面的交线。 几何方面处的任一纵向“纤维”正应变与成正比。 （2）物理方面各纵向“纤维”均处于单向受力状态，在线弹性材料范围内，由单向拉压虎克定律，得出横截面上距中性轴为的各点处正应力横截面上任一点处的正应力与成正比 。中性轴上的正应力为零，最大正应力发生在距中性轴最远的上下边缘。静力学方面，，得。 表明横截面面积对z轴的静矩为零，证明了均匀材料梁的中性轴z必过横截面的形心C。， 表明截面对y、z轴的惯性积为零，说明y、z轴是一对形心主轴。之矩组成弯矩M ，令，则。 横截面上距中性轴距离为处一点的弯曲正应力公式。 其中，为横截面对轴的惯性矩；称为截面抗弯刚度弯截面模量： 最大正应力公式。 表中列出了简单截面的和计算公式。表中，为薄壁圆平均半径。公式分析 纯弯曲正应力公式 式中计算之点到中性轴的垂直距离；沿高度线性分布，的方向根据的转向而定（如截面的弯矩为正，则中性轴以上受压，以下受拉。相反，如截面的弯矩为负，则中性轴以上受拉，以下受压）。 纯弯曲最大正应力发生在距中性轴最远处的上下边缘，中性轴上正应力为零。纯弯曲理论在横力弯曲中的推广对于细而长的梁（跨高比 ），计算表明：可以将纯弯曲理论推广到横力弯曲中。此结论将极大地扩展了该公式的使用范围，并确定了它们在工程中的实用价值。横力弯曲中的正应力公式，此时弯矩为变量。矩形截面梁弯曲时，在横截面的中性轴处正应力最大，剪应力为零正应力和剪应力均为零正应力和剪应力均最大正应力为零，剪应力最大 大连理工大学网络教育学院 第8页 共8页