质点运动学-2.ppt

* 在质点的运动轨迹上任一点建立如下坐标系，其中一根坐标轴沿轨迹在该点 P 的切线方向，该方向单位矢量用 表示；另一坐标轴沿该点轨迹的法线并指向曲线凹侧，相应单位矢量用 表示，这种坐标系就叫做自然坐标系（natural coordinates）。 沿轨迹上各点，自然坐标轴的方位是不断地变化着的。 一、切向加速度和法向加速度 一般曲线运动和圆周运动 质点速度的方向沿着轨迹的切向，表示为 切向加速度（tangential acceleration）： 法向加速度（normal acceleration）： 切向加速度反映速度大小的变化。 法向加速度反映速度方向的变化。 加速度大小： 方向（与法向的夹角）： 上述切向加速度和法向加速度的表达式对任何平面曲线运动都适用，但式中半径R 要用曲率半径? 代替。 一般地，曲线上各点处的曲率中心和曲率半径是逐点变化的，但法向加速度处处指向曲率中心。 二、圆周运动的角量描述 设质点在Oxy平面内绕O点、沿半径为 R 的轨道做圆周运动，以 Ox 轴为参考方向。 角位置（angular position）： ? 角位移（angular displacement）： ?? (rad) （ 规定反时针转向为正） 角速度（angular velocity）： 匀变速圆周运动 （角量描述） 匀变速直线运动 （线量描述） 式中?、?0、?、?0 和β分别表示角位置、初角位置、角速度、初角速度和角加速度。 角加速度（angular acceleration）： 质点做圆周运动时，线量（速度、加速度）和角量（角速度、角加速度）之间，存在着一定的关系： 圆周运动中，法向加速度也叫向心加速度。 例 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。 地球自转周期 T=24?60?60 s，角速度大小为 地面上纬度为? 的P点，其圆周运动的半径为 P点速度的大小为 速度的方向与运动圆周相切。 解： P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为 方向在运动平面上由 P 指向地轴 如已知北京的纬度是北纬39?57?，则 解： 例 一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为 ，v0、b 都是正的常量。（1）求该点在时刻t 的加速度。（2）t 为何值时，该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知飞轮的半径为R。 （1）该点的速率为 该点做匀变速圆周运动。 切向加速度为 法向加速度为 t 时刻该点的加速度为 加速度的方向与速度的夹角为 （2）切向加速度与法向加速度的大小相等，即 三、抛体运动的矢量描述 以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴。设抛出时刻 t =0的速率为v0，抛射角为? ，则初速度分量分别为 O y x 加速度恒定为 故任意时刻的速度为 运动学方程为 可见，抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。 运动的分解可有多种形式，上述运动学方程又可写为 可见，抛体运动也可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动。 抛体运动的轨迹方程为 （抛物线运动） 令y = 0 ，得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标 ， 它就是射程（range）： 根据轨迹方程的极值条件，求得最大射高为 上式成立的条件： 空间绝对性 时间绝对性 构成经典力学的绝对时空观。 相对运动 对于同一个质点 P ，任意时刻在两个坐标系中的位置矢量分别为 和 ，则有 考虑两个相对运动为平动的参考系，分别建立坐标系 和 ，设 对O的位矢为 。 即 因此， 称为伽利略（坐标）变换式（Galilean transformation） 对时间 t 求导，可得质点在两个坐标系中的速度关系： 即 称为（伽利略）速度变换式。 注意：上述速度变换式只适用于低速运动的物体。 速度关系对时间 t 求导，可得质点在两个坐标系中的加速度关系： 称为（伽利略）加速度变换式。 *