对3个常用坐标系单位矢量的认识.docxVIP

学习报告一 ——对三个常用坐标系单位矢量的认识 作者：英才实验学院09级四班 甘骏 2900104007 Abstract This article is supposed to give a antinomy to show how diffrerent the three coordinate systems are.And it will tell the reason.At last there is another antinomy. 【关键字】 悖论 直角，圆柱，球坐标系 【引言】 例题：将位于球坐标系下的P点（1，30°，90°）处的矢量A=eθ,先在直角坐标系下表示出其表达式，然后再将所得到的表达式，重新表达成球坐标系下表出。 解：A=eθ= excosθcosФ+eycosθsinФ+ez (-sinФ) =ex·0+ey·32+ez(-12) =32ey-12ez ⑴ 重新表示成球坐标公式有： A=32ey-12ez =32（ersinθsinФ+eθ+eycosθsinФ+eФcosФ）-12(ercosθ-eθsinθ) =32（er12+eθ+ey32+eФ0）-12(er32-eθ12) = eθ ⑵ 将⑴式结果表示在直角坐标系中，会出现一个怪异的结果： A= eθ=er 这显然是一个悖论，但是又是合理的。本文将对此进行分析。 【正文】 在⑴式推导过程中，运用了向量的运算。由于向量的可平移特性，在进行运算过程中，实际上对向量A进行了平移变换，将其起点平移到了坐标原点，而不是之前的P点。所以最终得到的结果是er。 从得到这个悖论的推导过程，可看出直角坐标系和球坐标系的特点及联系，再类似考虑柱坐标系，可知三种常用坐标系是各有特点和联系的。 直角坐标系柱坐标系球坐标系长度元dlx=dx, dly=dy, dlz=dzdlρ=dρ, dlΦ=ρdΦ, dlz=dzdlr=dr, dlθ=rdθ, dlΦ=rsinθdΦ面积元dSx=dydz, dSy=dxdz, dSz=dxdydSρ=ρdΦdz, dSΦ= dρdz, dSz=ρdρdΦdSr=r2sinθdθdΦ, dSθ=rsinθdrdθ, dSΦ=rdrdθ体积元dV=dxdydzdV=ρdρdΦdzdV= r2sinθdrdθdΦ 直角坐标系： 直角坐标系是生产生活中应用最广泛的坐标系，因为在直角坐标系下，得到的数学表达式最直观，最符合人类的经验认识。但是真正的科学研究及实际工程中，可建立的标准直角坐标系是非常少的。即直角坐标系可作为人们最方便理解认识某一问题的工具，而不是好的解决问题的工具。 柱坐标系与球坐标系： 这两类坐标系是在科学工程中常用到的。因为它们更接近于工程模型，可以简化计算表达式。与直角坐标系的联系是都是有3个两两垂直的向量作为基，构成向量空间。 但是这两类坐标系不直观。因为用eФ和eθ表示的向量随着取点不同，方向和大小在不断改变。 deθr=rdeθ+eθdr和deФr=rdeФ+eФdr 可知，这两个基向量实际上由两个表达式确定，在应用过程中可能因已知条件不足产生同一个向量不同表达的悖论。 三种常用坐标系关系变换如下表： exeyezepcosФsinФ0eФ- sinФcosФ0ez001 exeyezersinθcosФsinθsinФcosθeθcosθcosФcosθsinФ-sinθeФ-sinФcosФ0 epeФezersinθ0cosθeθcosθ0-sinθeФ010由于角度向量的不确定性，很容易得到悖论，举例如下： 将引言中的向量A用柱坐标系表示，可得： A=eθ= ercosθ+eФ0+ez (-sinФ) =32er-12ez ⑶ 比较⑶和⑴可得到er=ey。由于ez=ez.三个基本向量两两垂直。可确定第三个向量相等或者反向。则直角坐标系与柱坐标??等价。 这显然是一个悖论。 实际上，此结论只在Ф=90°时成立。随着Ф不断变化，柱坐标中的基向量 er和 eФ的方向不断变化，不像直角坐标系固定，即er=ey不恒成立。 【参考资料】 《工科数学分析基础》 马知恩 王锦森主编 高等教育出版社 《电磁场与电磁波》 谢处方