工程制图第三章3–2.docVIP

§3-2 点、直线、平面的投影 任何物体的表面都是由点、线、面等几何元素组成。如图3-11所示三棱锥，是由四个平面、六条棱线和四个点组成。由于工程图样是用线框图形来表达，所以绘制三棱锥的三视图，实际上就是绘制构成三棱锥表面的这些点、棱线和平面的三面投影。因此，要正确绘制和阅读物体的三视图， 须掌握这些基本几何元素的投影规律。 图3-11三棱锥 一、点的投影 １．点的三面投影形成 如图3-12a所示，过空间点A分别向三个投影面作垂线，其垂足a、a′、a″即为点A在三个投影面上的投影。按前述三投影面体系的展开方法将三个投影面展开（图3-12b）a′az＝aaYH反映点A到W面的距离；a′ax＝a″aYw反映点A到H面的距离； aax＝a″az反映点A到V面的距离. 根据上述点的三面投影规律，在点的三面投影中，只要知道其中任意两个面的投影，就可求作出该点的第三面投影。 〔例3-2〕已知点B的V面投影b′与H面投影b，求作W面投影b″（图3-13a）。 分析： 根据点的投影规律可知，b′b″⊥ OZ，过b′作OZ轴的垂线b′bz并延长，所求b″必在b′bz的延长线上。由b″bz＝ bbx，可确定b″的位置。 图3-13 已知点的两面投影求作第三面投影 作图： １）过b′作b′bz⊥OZ，并延长（图3-13ｂ）。 ２）量取b″bz＝ bbx，求得b″，也可利用４５°线作图（图3-13ｃ）。 ３．点的三面投影与直角坐标的关系 　在图3-14ａ中，如果将投影面看作坐标面，投影轴看作坐标轴，原点O看作坐标原点，这样的直角三投影面体系便成为一个空间直角坐标系。空间点A到三个投影面的距离便可分别用它的直角坐标x、y、z表示。 　　点A的x坐标：表示点A到W面的距离＝Aa″＝a′az＝aaYH 点A的y坐标：表示点A到V面的距离＝Aa′＝a″az＝a ax 点A的z坐标：表示点A到H面的距离＝Aa＝a′ax＝a″aYW 图3-14 点的投影与直角坐标的关系 　　点的空间位置可由点的坐标（x，y，z）确定。如图3-14ｂ所示，点A三面投影的坐标分别为ａ（ｘ，ｙ）、ａ′（ｘ，ｚ）、ａ″（ｙ，ｚ）。任一面投影都表示两个坐标，所以一个点的两面投影就表示了确定该点空间位置的三个坐标，即确定了点的空间位置。 〔例3-3〕已知点A（15,10,20），试作其三面投影。 图3-15　已知点的坐标作投影 作图： １）作投影轴，在OX轴上向左量取15，得ax（图3-15ａ）。 ２）过ax作OX轴的垂线，在此垂线上沿OYH方向量取10得ａ，沿OZ方向量取20，得a′（图3-15ｂ）。 ３）由ａ、ａ′作出ａ″（图3-15ｃ）。 〔例3-4〕如图3-16ａ所示，已知点B的水平投影ｂ，并知点B到H面的距离为０，试作出点B的其余两面投影。 图3-16　根据点的一面投影及点到该投影面的距离，求作点的其余投影 分析： 　　从点B的水平投影可知点B的ｘ、ｙ坐标，点B到H面的距离即为点B的ｚ坐标，ｚ坐标值等于０，说明点B在H面上。因此，点B的H面投影ｂ与点B重合；点B的V面投影ｂ′在OX轴上；点B的W面投影ｂ″在OYW轴上。 作图： １）过ｂ作OX轴的垂线，其垂足即为ｂx，ｂ′与ｂx重合（图3-16b）， ２）在OYW轴上量取ob″＝ｂｂx得ｂ″，也可利用作４５°斜线确定ｂ″（图3-16c）。 思考： 在例3-4中，能否在OYH上量取ob″＝ｂｂx确定ｂ″？为什么？ ４．两点的相对位置 （１）两点相对位置的确定 空间两点的相对位置可用两种方式确定。 图3-17　两点的相对位置 １）直接从两点的投影确定： 从正面投影或侧面投影可确定两点的上、下位置，如图3-17ｂ的正面投影中，ａ′在ｂ′上方，可知点A在点B之上。同理，从正面投影或水平投影可确定两点的左、右位置；从水平投影或侧面投影可确定两点的前、后位置。 ２）从两点的坐标差判断： 从两点的ｚ坐标差，可判断两点的上、下位置，如图3-17中，ｚA－ｚB0，说明点A在点B之上。同理，从两点的ｘ坐标差，可判断两点的左、右位置；从两点的ｙ坐标差，可判断两点的前、后位置。 〔例3-5〕已知空间点C的三面投影（图3-18ａ），点D在点C的左方５，后方６，上方４。求作点D的三面投影。 图3-18　根据两点的相对位置，求作点的投影 作图： １）在OX轴上的cx处向左量取５，得dx（图3-18ｂ）。 ２）过dx作OX轴的垂线。在该垂线上，从dx开始，沿OZ方向量取zc＋４得ｄ′，沿OYH方向量取yc－６得ｄ（图3-18ｃ）。 ３）由ｄ′、ｄ作出ｄ″（图3-18ｄ）。 （２）重影点及其投影的可见性 　　如图3-19所示，当空间两点A、B位于垂直于H面的同一投射线上时，这两个点在H面上的投影重合为一点，我们称这两个点为H面的重影点。同理，C、D为V