平面向量内积坐标运算.docVIP

课 题：平面向量数量积的坐标表示 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式 ⑶能用所学知识解决有关综合问题 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量与，作＝，＝，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos?叫与的数量积，记作?，即有? = ||||cos?， （０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为0 3．向量的数量积的几何意义： 数量积?等于的长度与在方向上投影||cos?的乘积 4．两个向量的数量积的性质： 设、为两个非零向量，是与同向的单位向量 1?? = ? =||cos?；2?? ? ? = 0 3?当与同向时，? = ||||；当与反向时，? = ?|||| 特别的? = ||2或 4?cos? = ；5?|?| ≤ |||| 5． 平面向量数量积的运算律 交换律： ? = ? 数乘结合律：()? =(?) = ?() 分配律：( + )? = ? + ? 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量，，试用和的坐标表示 设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么 ， 所以 又，， 所以 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即 2.平面内两点间的距离公式 （1）设，则或 （2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 设，，则 4.两向量夹角的余弦（） cos? = 三、讲解范例： 例1 设 = (5, ?7)， = (?6, ?4)，求? 解： = 5×(?6) + (?7)×(?4) = ?30 + 28 = ?2 例2 已知(1, 2)，(2, 3)，(?2, 5)，求证：△ABC是直角三角形 证明：∵=(2?1, 3?2) = (1, 1), = (?2?1, 5?2) = (?3, 3) ∴?=1×(?3) + 1×3 = 0 ∴? ∴△ABC是直角三角形 例3 已知 = (3, ?1)， = (1, 2)，求满足? = 9与? = ?4的向量 解：设= (t, s)， 由 ∴= (2, ?3) 例4 已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少? 分析：为求与夹角，需先求及｜｜·｜｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由＝（１，），＝（＋１，－１） 有·＝＋１＋（－１）＝４，｜｜＝２，｜｜＝２． 记与的夹角为θ，则cosθ＝ 又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 例5 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC，使? = 90?，求点和向量的坐标 解：设点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x?5, y?2) ∵? ∴x(x?5) + y(y?2) = 0即：x2 + y2 ?5x ? 2y = 0 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2即：10x + 4y = 29 由 ∴点坐标或；=或 例6 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角， 求k值 解：当 = 90?时，?= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 当 = 90?时，?= 0，=?= (1?2, k?3) = (?1, k?3) ∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k = 当C= 90?时，?= 0，∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k = 四、课堂练习： 1.若=(-4,3),=(5,6),则3||２－４＝（ ） A.23 B.57 C.63 D.83 2.已知(1,2),(2,3),(-2,5)，则△为（ ）  A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知=(4,3),向量是垂直的单位向量，则等于（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 4.=(2,3),=(-2,4),则(+)·(-)= . 5.已知(3，2)，(-1，-1)，若点P(x,-)在线段的中垂线上，则x= . 6.已知(1，0)，(3，1)，(2，0)，且=,=,则与的夹角为 . 参考答案：1.D 2.A 3.D 4