平面三角形与空间四面体之间的类比.docVIP

平面三角形与空间四面体之间的类比 　　?　　首先，平面三角形是平面几何中的一个基本图形，而四面体是立体几何中的一个基本图形。二者之间有着密切的联系，同时它们之间的联系体现了平面与空间的联系，一维空间与二维空间的联系，进一步可能有助于对多维空间的理解。 ?　　一、从概念上看：三角形是边数最少的多边形，四面体是面数最少的多面体。 ?　　二、三角形的任意两边之和大于第三边。四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积。? 　　三、任意一个三角形都有一个外接圆，即不共线三点确定一个圆，这个圆圆心称为三角形的外心，外心是各边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点距离相等。任意一个四面体都有一个外接球，即不共面四点确定一个球；这个球的球心在四面体各个面内的射影是各个面的外心，且它到四面体各顶点的距离也相等。 ?　　四、任意一个三角形都有一个内切圆，圆心称为三角形的内心，内心到各边距离相等，是三内角平分线的交点；且设三角形的周长为c,内切圆半径为r,则三角形的面积为。任意一个四面体都有一个内切球，球心到各个面的距离相等，是从六条棱出发的六个二面角的平分面的交点。且设四面体的表面积为S,内切球半径为R，则四面体的体积为。 ?　　五、正三角形棱长为a时，周长为3a,面积为，高为，外接圆半径为，内切圆半径为。外接圆半径是内切圆半径的2倍。 ?正四面体棱长为a时，表面积为，高为，外接球半径为，内切接球半径为。外接球半径是内切球半径的3倍。 　　六、任意三角形的三条中线交于一点，称为三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。（重心定理）如图1所示：G为的重心。且 　　　　　?　　 ?　　任意四面体的顶点与对面重心的连线交于一点，正是四面体的物理重心，且四面体的重心到顶点的距离是它到对面重心距离的3倍。（重心定理的推广） ??? 如图2所示： E，F分别为的重心，AE与BF相交于点G，则G为四面体A-BCD的重心。 ?　　七、三角形中三个顶点的坐标分别为， 则它的重心坐标为。 ?　　四面体中四个顶点的坐标分别为，， 则它的重心坐标为?? 。 八、三角形中有余弦定理：。 在四面体A-BCD中，顶点A,B,C,D所对底面面积分别为；以四面体的各棱为棱的二面角大小分别为。则有 。 　　余弦定理证明如下：　　证明：在中利用射影定理有 由上面三式得： 向量证明 中，，，： 证明：由空间的射影定理知?? H为点A在平面BCD中的射影，则?? ?同理有： ? ? 于是有? ?=????? + ??+? 所以：。 ?点评：在上面的推理论证中，我们不光从已知、结论上进行了类比，而且对证明过程也进行了类比。充分体现了类比的“引路人”作用。 九、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。这是勾股定理，它是余弦定理的一种特殊情形。于是可利用余弦定理证明。 在有三个面两两互相垂直的四面体中，三个“直角面”的面积平方和等于“斜面”的面积平方。这是推广的勾股定理，它也正好是前面推广的余弦定理的特殊情形。于是它可利用推广的余弦定理证明。 十、三角形中有正弦定理： ?证明：在中，有??????? 于是有 即：?? 。??? 同理可证：。 ?而在四面体ABCD中，设棱AB与面ACD，面BCD所成角分别为，则。 证明：如图4：作AH垂直平面BCD，H为垂足。则就是AB与平面BCD所成角。 ?所以AH=AB。所以同理：所以 ??即。 十一、已知点O是内任意一点，连接AO,BO,CO并延长交对边于A’，B’，C’， 则。?? 证明：如图5所示，? ? 因为与同底，所以同理：；所以???? ? 而在空间四面体ABCD中也可有类似命题：已知点O是四面体ABCD内任意一点，连接AO,BO,CO,DO并延长交对面于A’，B’，C’，D’, 则。 ?证明：如图6所示，? 因为三棱锥O-BCD与三棱锥A-BCD同底;? 所以同理：；所以