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机器视觉轮廓表示之曲线拟合 7.2曲线拟合 本章将讨论三种常用的曲线模型拟合边缘点的方法：直线段，圆锥曲线段和三次样条 曲线段.一般来说，在用曲线模型拟合边缘点之前应考虑如下两个问題： 用什么方法进行边缘点曲线模型拟合？ 如何测量拟合的逼近程度？ 下面几节将讨论曲线模型拟合边缘点方法，其中假设边缘位置足够精确，不会对拟合 结果产生影响. 设d1是边缘点到一条拟合曲线的距离，该距离值有正负符号，在曲线同一侧的边缘具有相同的正负符号.目前有许多种拟合曲线与候选边缘点拟合效果的测量方法，每一种都取决于拟合曲线和候选点之间的误差.下面是一些常用的方法. 最大绝对误差(maximum absolute error, MAE ) 测量最坏情况下边缘点偏离曲线的距离 均方差（mean squared error，MSE ) 给出边缘点偏离拟合曲线的总的测度 规范化最大误差（normalized maximum error，NME ) 最大绝对误差与曲线长度S之比 误差符号变化次数 这里的误差就是指d1，即边缘点偏离拟合曲线的距离.误差符号变化次数可作为轮廓边缘模型与边缘点曲线适合程度的测度. 曲线长度与端点距离之比 曲线复杂程度的测度. 符号变化是一种评价拟合好坏的很有用的参数.比如，用直线段逼近边缘表.如果符号变化一次，则说明边缘点可以由直线段来逼近，符号变化两次，说明边缘可以由二次曲线逼近，符号变化三次，说明边缘模型是三次曲线，依此类推.如果符号变化数量很大，则意味着曲线复杂度增加一点将不能显著地改善拟合效果.一种好的拟合所对应的符号变化具有随机模式.相同符号连续出现多次说明存在拟合系统误差，这种误差可能是由于错误的曲线模型引起的。 曲线拟合模型的选择取决于应用场合.如果场景是由直线段组成，则使用直线段（或多线段)模型比较合适。直线段模型也可作为其它拟合模型的初始拟合模型.圆弧段是估计曲率的最有用的一种表示，因为曲线可以分割成具有分段恒定曲率的曲线段.圆锥曲线段是一种表示直线段和圆弧段序列以及椭圆和高次弧段序列的有效方法.三次样条曲线适合于平滑曲线模型，因为三次样条曲线并不要求正切矢量和曲率的估计值一定是分段恒定的。 7.2.1多直线段 多直线段是指端点连接端点的直线段序列，直线段序列的连接点称为顶点.多直线段 适合具有线段序列的边缘列表的拟合.多线段算法的输入值是边缘点有序表{（x1，y1）））.由于线段的两个端点对应两个边缘点，即线段拟合在这两个边缘点之间进行，因此仅需要精确计算对应端点的两个边缘点的坐标。 拟合边缘表并把第一个边缘点（x1，y1）） 规范化最大误差常作为线段拟合边缘列 表好坏的置度.需要指出，上面的公式都是在点 向直线段的垂直投影落在线段内这个假设下进 行的.对于其它情况,则应修正公式，以便计算 点到最近的线段端点的距离.下面介绍两种拟 合多线段的方法：自顶面下的分裂和自底而上 的合并. 1.多直线段分裂 自顶而下的分裂算法(top-down splitting) 是将整条曲线作为初始曲线，通过反复增加顶点 数来进行直线段拟合曲线。考虑图7.5所示的边 缘点曲线（可以认为是由离散边缘点构成），将 第一个和最后一个边缘点连成的直线作为曲线的 初始拟合，用AB标记.在边缘表中计算规范化最 大误差，如果该误差值髙于某一阈值，则在离直 线段最远的边缘点上设置一个顶点，用C来标记， 从而形成两个拟合直线段AC和CB,边缘表也分割 成对应于两个新直线段的两个子边缘表.在每一个 子边缘表中，重复上面所述的分裂算法，形成两个新的直线段及对应的两个更小的子边缘表.这样的分裂过程可以一直进行下去，直到所有的直线段对应的规范化最大误差均低于某一阈值为止.多线段分裂也称为迭代分解。 2.线段合并 线段合并(merging)是指用一条直线段尽量多地拟合边缘表中的边缘点.当边缘点离直线段太远而无法用该直线段拟合时，则开始新的直线段拟合.合并方法也称为自底而上合并(boltom-up merging)的多线段拟合方法. 确定边缘点离直线段的距离有许多种方法.一种方法是使用序贯最小二乘法，完成直 线段到边缘点的最小二乘法拟合，并在每次处理新的边缘点时递增地更新线段参数.拟合算法将计算边缘点与直线段模型之间的偏差(残差）平方.当偏差超过某一阈值时，引进一 个顶点，并将上—个线段的端点作为新的起点开始新的直线段拟合。 误差带算法是另一种确定顶点位置的方法，如图7.6所示，主要工作是计算两条平行 且离中心线距离为ε的直线段，ε值表示离中心直线的绝对偏离值,拟合直线段就位于误差带内.当新的边缘在误差带内，就可以用当前拟合直线表示该边缘，然后重新计算误差带的位置.拟合直线段不必与误差带边保持平行.位于线段端点的顶点是下一线段的起点.显然，这一方法常产