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概率论和数理统计公式集锦
一、随机事件与概率
公式名称 公式表达式 德摩根公式 , 古典概型 几何概型 ,其中μ为几何度量(长度、面积、体积) 求逆公式 加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)=0时,P(A∪B)=P(A)+P(B) 减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB),时P(A-B)=P(A)-P(B) 条件概率公式
与乘法公式
全概率公式 贝叶斯公式
(逆概率公式) 两个事件
相互独立 ;;;
二、随机变量及其分布
1、分布函数
2、离散型随机变量及其分布
分布名称 分布律 0-1分布 X~b(1,p) 二项分布(贝努利分布)
X~B(n,p) 泊松分布 X~p()
3、续型随机变量及其分布
分布名称 密度函数 分布函数 均匀分布
x~U(a,b)
分布名称 密度函数 分布函数 指数分布
X~E() 正态分布
x~N() 标准正态分布
x~N(0,1)
分布函数
对连续型随机变量
对离散型随机变量
分布函数与密度函数的重要关系:
4、随机变量函数Y=g(X)的分
离散型:,
连续型: ①分布函数法,
②公式法
h(y)是g(x)的反函数
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量及其分布
分布律:分布函数
边缘分布律:
条件分布律:,
2、连续型二维随机变量及其分布
①分布函数及性质
分布函数:
性质:
②边缘分布函数与边缘密度函数
分布函数: 密度函数:
③条件概率密度
,
3、随机变量的独立性
随机变量X、Y相互独立,
离散型: ,连续型:
4、二维随机变量和函数的分布(卷积公式)
离散型:注意部分可加性
连续型:
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
①定义:离散型,连续型
②性质:,,
,当X、Y相互独立时:(正对逆错)
2、方差
①定义:
②性质:,,
当X、Y相互独立时:
3、协方差与相关系数
①协方差:,当X、Y相互独立时:
②相关系数: ,当X、Y相互独立时:(X,Y不相关)
③协方差和相关系数的性质:,
,
Cov(x,a)=0(a为常数),
4、常见随机变量分布的数学期望和方差
分布 数学期望EX 方差DX 0-1分布 p p(1-p) 二项分布 np np(1-p) 泊松分布 均匀分布 正态分布 指数分布 五、大数定律与中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若对于任意有
2、大数定律(普通班不重要):
①切比雪夫大数定律:若相互独立,
且,则:
②伯努利大数定律:设nA是n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则,有:
③辛钦大数定律:若独立同分布,且,则
3、★中心极限定理
①列维—林德伯格中心极限定理:独立同分布的随机变量,均值为,方差为,当n充分大时有:
②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理:随机变量,则对任意x有:
③近似计算:
六、数理统计的基本概念
1、总体和样本的分布函数
设总体X~F(x),则样本的联合分布函数
2、统计量
样本均值:,样本方差:
样本标准差: ,样本阶原点距:
样本阶中心距:
3、三大抽样分布
(1)分布:设随机变量X~B(0,1)且相互独立,则称统计量服从自由度为的分布,记为
性质:①②设且相互独立,则
(2)分布:设随机变量,且X与Y独立,则称统计量:服从自由度为的分布,记为。
性质:①②
(3)分布:设随机变量,且与独立,则称统计量服从第一自由度为m,第二自由度为n的分布,记为,性质:设,则。
七、参数估计
1.参数估计
①定义:用估计总体参数,称为的估计量,相应的为总体的估计值。
2.点估计中的极大似然估计
设取自的样本,设或, 求法步骤:
①似然函数:
②取对数: 或
③解方程:,解得:
3.估计量的评价标准
估计量的评价标准 无偏性 设为未知参数的估计量。若E()=,则称 为的无偏估计量。 有效性 设和是未知参数的两个无偏估计量。若,则称有效。 一致性 设是的一串估计量,如,有则称为的一致估计量(或相合估计量)。 正态总体中,样本均值是的无偏估计量
修正样本方差是的无偏估计量
5. 区间估计 单正态总体参数的置信区间
条件 估计
参数 枢轴量 枢轴量
分布 置信水平为的置信区间 已知 未知 未知 未知
八、假设检验
1.假设检验的基本概念
基本思想 假设检验的统计思想是小概率原理。
小概率事件的概率就是显著性水平α,常取α=0.05,0.01或0.10。 基本步骤 ①提出原假设H0
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