正态总体样本基准差.docVIP

正态总体样本标准差 不是总体标准差的无偏估计量 设是来自正态总体的一个样本，为样本均值，为样本方差。众所周知，对任何总体来说样本方差是总体方差的无偏估计两，正态总体更不是例外。但样本标准差却不是总体标准差的无偏估计量。 证明： 由于，若令，则的概率密度为 从而 ① 另一方面， ， 所以有， 所以，样本标准差却不是总体标准差的无偏估计量。 如果进行修正，则可以得到的无偏估计量，其中 评注： 理论依据： 正态总体样本的抽样分布，分布与分布的有关性质。 应用与推广： 无论总体服从什么分布，修正的样本方差 是总体方差的无偏估计量，但是样本方差不是总体标准差 的无偏估计量。只有在正态总体的情况下才有确定性的修正方法，使得 是总体标准差的无偏估计量，对于非正态总体，情况极为复杂，一般不对其进行讨论。 参考文献： 茆诗松等，概率论与数理统计。本经：中国统计出版社，2000 参数估计方法在捕鱼问题中的应用 设湖中有鱼条，做上记号后放回湖中（记号不消失），一段时间后让湖中的鱼（做上记号的和没做记号的）混合均匀，再从湖中捕出鱼数s条 ,其中有t条标有记号。试根据这些信息，估计湖中鱼数的值。 （1）根据概率的统计定义：湖中有记号的鱼的比例应是（概率），而在捕出的s条中有记号的鱼为t条，有记号的鱼的比例是（频率）。设想捕鱼是完全随机的，每条鱼被捕的机会都相等，于是根据用频率来近似概率的道理，便有 即 故（取最接近的整数）。 （2）用矩估计法：设捕出的s条鱼中，标有记号的鱼为，因为是超几何分布，而超几何分布的数学期望是。捕s条鱼得到有标记的鱼的总体平均数，而现在只捕一次，出现t条有标记的鱼，故由矩估计法，令总体一阶原点矩等于样本一阶原点矩，即，于是也得（取最接近的整数）。 （3）根据二项分布与极大似然估计：若再加上一点条件，及假定捕出的鱼数s与湖中的鱼数的比很小，即sN,这样的假定对实际来说一般是可以满足的，这样我们可以认为每捕一条鱼出现有标记的概率为，且认为在s次捕鱼（每次捕一条）中 不变。把捕s条鱼近似地看做s重贝努力实验，于是，根据二项分布，s条鱼有t条有标记的，就相当于s次试验中有t次成功。故 同样地，我们取使概率达到最大，为此我们将作为非负实数看待，求关于的最大值。为方便，求 关于的最大值。于是 令 同样可得（取最接近的整数）。 （4）根据超几何体分布鱼最大似然估计法：设捕出的s条鱼中，标有记号放入鱼为 ，则 是一个随机变量，显然只能取。 令先考虑s条中有条有标记的鱼的概率，即。因湖中鱼数设为条，捕出s条，故 因为捕出s条出现t条有标记的鱼的概率为 根据最大似然估计法，今捕s条出现有标记的鱼t条，那么参数应该使得达到最大，即参数的估计值使得 由比值 看出，当时，，这表明如果时，是的下降函数；当时，，这表明时，是N的上升函数。于是时，达到最大值，但由于时整数，故取（取最接近的整数） 如果，就加大s；若仍有，可认为。 评注： 理论依据： 二项分布、超几何体分布的概率计算，矩法计与极大似然估计。应用参数估计的思想和方法分析、处理问题。 应用与推广： 此例说明，对同一个问题可以采用不同的方法解决。例如，估计一个城市的人口总素，也可以采用同样的方法去考虑。 参考文献： 孙荣恒趣味随机问题北京：科学出版社，2004 平均值的质量控制图 在工业质量控制中，常需要每隔一定的时间就检验一次同样的假设。例如，在制造某种弹簧的过程中，需要控制弹簧的自由长度具有平均值厘米。设弹簧的自由长度（总体）服从正态分布，且标准差，为检验生产过程是否正常，每隔一定时间（例如一小时）取样件，根据抽测的自由长度的平均值来检验假设（厘米）。 为简化这项工作即便于了解生产过程中统计规律性，制作了如下的图表。 图中的纵坐标是的大小，中心线在，控制上限和控制下限分别在，每个样本平均值都画在图上，用黑点表示。如果都落在控制线之间，则表明生产过程处于正常的控制之下；否则，就要检查原因，适当地调整机器，显著性水平不超过。图中的控制限中的就是取得到的。 这是根据规则得到的检验方法。如果总体，则 在中抽取容量为的样本，则样本均值。当总体方差已知时，在显著性水平之下，假设的接受域是： 。那么，如果以为检验统计量的接受域为：。所以，做出的控制图分别以作为控制下限和控制上限。 如果每隔一小时的时间间隔内采样（容量为5）的样本均值如下： 由作出样本容量的样本平均值控制图，可以作出质量控制图。 评注： 理论依据： 正态总体均值的置信区间，根据样本构造置信上限与下限，从而作出质量控制图。 应用于推广： 根据正态总体分布与数理统计的知识，进行质量管理与质量控制是概率统计应用的一个和重要的方