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圆锥曲线 一、知识点讲解 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在轴上 中心在原点，焦点在轴上 标准方程 图 形 顶 点 对称轴 轴，轴；短轴为，长轴为 焦 点 焦 距 离心率 （离心率越大，椭圆越扁） 通 径 （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段） 3．常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长= （2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是 二、例题讲解。 例1、 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程． 解：当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为． 当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为． 例2、 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有， 故其方程为． （2）设，，则． ① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 例3、 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即． 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或． 例4、已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积． 解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知： ·．① 由椭圆定义知： ②，则得 ． 故 ． 三、习题讲解。 一、选择题。 1.圆6x2+ y2=6的长轴的端点坐标是 A.(-1,0)?(1,0) B.(-6,0)?(6,0) C.(-,0)?(,0) D.(0,-)?(0,) 2.椭圆x2+ 8y2=1的短轴的端点坐标是 A.(0,-)、(0,) B.(-1,0)、(1,0) C.(2,0)、(-,0) D.(0,2)、(0,－2) 3.椭圆3x2+2y2=1的焦点坐标是 A.(0,－)、(0,) B.(0,-1)、(0,1) C.(-1,0)、(1,0) D.(-,0)、(,0) 4.椭圆(ab0)的准线方程是 A. B. C. D. 5.椭圆的焦点到准线的距离是 A. B. C. D. 6.已知F1、F2为椭圆(a＞b＞0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若 △AF1B的周长为16，椭圆离心率,则椭圆的方程是 A. B. C. D. 7.离心率为,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是 A. B.或 C. D.或 8.椭圆和(k0)具有 A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长?短轴 9.点A(a,1)在椭圆的内部,则a的取值范围是 A.-a B.a-或a C.-2a2 D.-1a1 10.设F是椭圆的右焦点，P(x,y)是椭圆上一点，则|FP|等于 A.ex＋a B.ex－a C.ax－e D.a－ex 二、填空题 1.F1(0,6),中心到准线的距离等于10,则此椭圆的标准方程是______. 2.椭圆上的点到直线距离的最大的值是 . 3.已知F1?F2是椭圆的两个焦点,AB是过焦点F1的弦,若︱AB︳=8,则︱F2A︳+︱F2B︳的值是 A.16 B.12 C.14 D.8 4.若A点坐标为（1，1），F1是5x2+9y2=45椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，则|PA|+|PF1|的最小值是__________. 5.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M，N两点，弦MN的中点为P，若KOP=_____