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质点动力学 第*页 共21页 例2-1 在倾角30°的光滑斜面（固定于水平地面）上有两物体通过滑轮相连，已知m1=3kg ，m2 =2kg ，且滑轮和绳子质量可略．试求每一物体的加速度a 及绳子的张力FT （重力加速度g 取9.80m · s-2 ） ． 解方程组得 解 例2-2将质量分别为m1 ，m2，m3 和m 的四个物体连接，桌面与这些物体之间的摩擦系数都是 μ . 设桌子与滑轮位置不变，绳子质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦可忽略不计．求该系统的加速度以及各物体之间的张力FT1 、FT2 、FT3 ． 解方程组得 解：若先求加速度，可将m1 、m2 、m3 视为一整体 并设FN 为三物体共同 对桌面的总压力 解：若求FT１以m１ 为研究对象 若求FT２ ，以m２ 为研究对象 例2-3 质量为M 的斜面装置,可在水平面上做无摩擦的滑动, 斜面倾角为? , 斜面上放一质量为m 的木块,也可做无摩擦的滑动. 现要保证木块m 相对于斜面静止不动, 问对M 需作用的水平力F0 有多大？ 此时m 与M 间的正压力为多大？ M 与水平面间的正压力为多大？ 解：m 相对M 静止，则m 与M 应有相同的加速度 用隔离体法分别画出M与 m的示力图 牛顿运动定律列出方程 解： 对于M x方向 y方向 对于m x方向 y方向 解得 解：小球在水平面内运动，则作用在小球上的张力FT 和重力mg 均在竖直平面内， 例2-4 这是一个圆锥摆．摆长为 ,小球质量为m , 欲使小球在锥顶角为θ 的圆周内做匀速圆周运动，给予小球的速率 应为多大？ 此时绳子的张力FT 有多大？ 设某一任意时刻, 在FT 和mg 所在平面内将力进行分解 小球在竖直方向没有运动 水平方向的分力恰好是小球做圆周运动的向心力 解得 解：取竖直向下为正方向, 例2-5 一质量为m 的物体在流体中下落,物体所受到的黏滞阻力与物体运动速率成正比,即 .设物体受到的浮力为F′,求该物体在下落过程中下落速率 和时间t 的关系式，以及终极速率 t （设t =0 时, = 0）． 解得 解：t 时刻 m , t +Δt 时刻 m +Δm ，车厢速率不变 例2-6 一辆运沙车以2m · s-1 的速率从卸沙漏斗正下方驶过，沙子落入运沙车厢的速率为400kg · s-1 ．要使车厢速率保持不变，需要多大的牵引力拉车厢？（设车厢和地面钢轨的摩擦力可略） 水平方向上动量增量为 根据动量定理 即 解：根据动量定理微分形式 例2-7 一质量为1kg 的质点在变力F =6 t (N )作用下沿x 轴运动，设t =0 时，质点速率 0= 2m · s-1 ，质点位x0=0 m ，试求质点在1s 末的速率和坐标位置． 又由 得 解：水平方向不受力,动量守恒 例2-8 一辆静止在水平光滑轨道上且质量为M 的平板车上站着两个人,设人的质量均为m ,试求他们从车上沿同方向以相对于平板车水平速率u 同时跳下和依次跳下时平板车的速率大小． (1)两个人同时跳下,取两人和平板车为一个系统, 设两人跳下后平板车的速率为 , 人相对地的速率为 (2)两个人依次跳下,先取两人和平板车为一个系统， 设第一个人跳下后平板车的速率为 1 第二个人跳下时，取平板车和第二个人为一个系统， 设第二个人跳下后平板车的速率为 2 解：水平方向动量守恒 例2-9 一炮弹以速率 0沿仰角? 的方向发射出去后,在达到最高点处爆炸为质量相等的两块,一块以45°仰角向上飞,一块以30°的俯角向下冲,求刚爆炸后这两块碎片的速率各为多大（炮弹飞行时的空气阻力不计） ? 得 在爆炸的瞬间，炮弹受的重力相对于爆炸内力可忽略 竖直方向动量近似守恒 解：沿y 方向的位移始终为零 例2-10　质点M 在力F 作用下沿坐标轴ox 运动,力F 的大 小和方向角θ 随x 变化的规律分别为F = 3x ,cosθ=0.8-0.2x ,其中F 的单位为N , x 、y 的单位为m .试求质点从x1=2m处运动到x2=3m 处的过程中,力F所做的功． 解：取绳自然下垂时B 端为坐标原点， 例2-11 一条长为 、质量为M 的匀质软绳, 其A 端挂在屋顶的钩子上, 自然下垂. 再将B 端沿竖直方向提高到与A 端 同一高度处, 求该过程中重力所作的功． 重力在位移元dy 上做的元功为 绳提起部分所受重力为 总功为 B 端为坐标为y 时 由动能定理 例2-12一个质量为m 的小球系在轻绳的一端, 绳的另一端固定在O点, 绳长为 .若先拉动小球使绳保持水平静止, 然后松手使小球下落. 求当绳与水平夹角为θ 时小球的速率． 解：小球从A 落到B 的过程中， 合外力