8离散控制系统.ppt

第8章 采样控制系统 7.2.2 采样定理 §7-3 采样信号保持器 7.3.1 零阶保持器 §7-4 Z 变换 7.4.3 Z 变换的基本定理 §7-6 采样控制系统的稳定性分析 7.6.1 采样系统的稳定条件 7.6.2 离散系统劳斯稳定判据 §7-7 采样系统的稳态误差 由图中信号关系得 闭环脉冲传递函数： 闭环误差脉冲传递函数： 与连续系统类似，令 或 的分母多项式为零，便可得到离散系统的特征方程： 需要指出，离散闭环系统脉冲传递函数不能从 和 直接求Z变换得来，即 通过与上面类似的方法可以导出采样器为不同配置形式的其它闭环系统脉冲传递函数。但只要误差信号e(t)处没有采样开关，则输入采样信号r*(t)就不存在，此时不能写出闭环系统对于输入量的脉冲传递函数，而只能求出输出采样信号的Z变换函数C(z)。 例14 设闭环离散系统结构如图所示，试证其闭环脉冲传函为 离散系统结构 证明： 例15 设闭环离散系统结构如图,试求其输出采样信号的z变换函数 闭环系统结构图 解：由图可得 离散化有 取Z变换有 在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根据特征方程的根在s平面的位置。若系统特征方程的所有根均在s平面左半平面，则系统稳定。对线性离散系统进行了Z变换以后，对系统的分析要采用Z平面，因此需要弄清这两个复平面的相互关系。 1）s域到z域的映射: 复变量s和z的相互关系为 z=esT ，式中T为采样周期 s域中的任意点可表示为 ，映射到z域则为 于是，s域到z域的基本映射关系式为 设复变量s在S平面上沿虚轴移动，这时 s＝jω，对应的复变量 。后者是Z平面上的一个向量，其模等于1，与频率ω无关；其相角为ωT，随频率ω而改变。 可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原点为圆心的单位圆。 当s位于S平面虚轴的左边时，σ为负数， 小于1。反之，当s位于s平面虚轴的右半平面时，为正数， 大于1。 s平面的左、右半平面在z平面上的映像为单位圆的内、外部区域。 Z平面和S平面的对应关系 S 线性采样系统结构图 2）线性采样系统稳定的充分必要条件 线性采样系统的特征方程为 闭环系统特征方程的根λ1、λ2、…λn，即闭环脉冲传递函数的极点。 在z域中，离散系统稳定充分必要条件是： 当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，相应的线性定常离散系统是稳定的。 对于线性连续系统，可以应用劳斯判据分析系统的稳定性。但是，对于线性采样系统，直接应用劳斯判据是不行的，因为劳斯判据只能判别特征方程的根是否在复变量s平面虚轴的左半部。 对于离散系统，必须采用一种新的变换，使z平面上的单位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。这种新的坐标变换，称为双线性变换，也称为W变换。 复变函数z与w双线性变换公式，令 或 式中z和w均为复变量，分别把它们表示成实部和虚部相加的形式，即 对应关系 1. 对于w平面上的虚轴，即u=0， 则 对应z平面以原点为圆心的单位圆上。 2. z平面上单位圆内 ，对应于w平面u为负，即虚轴的左半平面。 3. Z平面上单位圆外 ，对应于w平面u为正，即虚轴的右半平面。 Z平面和W平面的对应关系 对于线性采样系统经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。 例16 设闭环离散系统如图所示，其中采样周期T=0.1s，试求系统稳定时K的变化范围。 解：求系统的开环脉冲传递函数 代入上式，得 系统特征方程为 闭环系统脉冲传递函数为 化简后，得W域特征方程 列劳斯表 从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须使K0，2.736-0.632K0，即 0K4.33。 3）复域位移定理 若 则有： 定理的含义是：函数x(t)乘以指数函数e±at的Z变换，等于在x(t)的Z变换表达式X(z)中，以 取代原算子z。 例：试用复数位移定理计算函数te-at的Z变换 解：令x(t)=t，查附表知 根据复数位移定理，有 4）复数微分定理 若 Z[x(t)]=X(z)，则 5）初值定理 若Z[x(t)]=X(z) ，且当t0时， x(t)＝0 则 6）终值定理 若Z[