一数学物理方法.ppt

若将三维波动方程以标量函数的形式表示出来，则可写成 （1.1.20） 其中 , u 是 (或 )的任意一个分量。 从方程（1.1.14）与（1.1.15）还可以推导出静电场的电位所微分方程。将方程（1.1.15）代入方程（1.1.14），得 而电场强度 与电位 u 之间存在关系 所以可得 （1.1.21） 这个非齐次方程就是Poisson方程。 （1.1.22） 即无源静电场的电势满足Laplace方程。 如果静电场是无源的，即 ，则方程（2.1.21）变成 常识告诉我们，热量具有从温度高的地方向温度低的地方流动的性质，即一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一样，则在温度较高的点处的热量就要向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和点的位置的变化。所以，解决热传导问题都要归结为求物体内温度的分布。 五、热传导方程 现在我们来推导均匀且各向同性的导热体在传热过程中温度所满足的微分方程。与上例类似，我们不是先讨论一点处的温度，而应该先考虑一个区域的温度。为此，采用微元法，在物体中任取一个闭曲面S,它所包围的区域记作V（图1.1.4）。假设在时刻t区域V内点 处的温度为 , 为曲面元素 的法向 （从V内指向V外）。 由传热学中傅里叶（Fourier）实验定律可知，物体在无穷小时间段 内，流过一个无穷小面积 的热量 与时间 ，曲面面积 ，以及物体温度沿曲面的法线方向的方向导数 三者成正比，即 其中k称为物体的热传导系数，当物体为均匀且各向同性的导热体时，k为常数。 负号是由于热量的流向和温度梯度的正向，即 的方向相反而产生的。 利用上面的关系，从时刻 ,通过曲面S流入区域V的全部热量为 流入的热量使V内温度发生了变化，在时间间隔 内区域V内各点温度从 变化到 ，则在 内V内温度升高所需要的热量为 其中，c为物体的比热， 为物体的密度，对各向同性的物体来说，它们都是常数。 由于热量守恒，流入的热量应等于物体温度升高所需吸收的热量，即 此式左端的曲面积分中S是闭曲面，利用Gauss公式将它化为三重积分，即 同时，右端的体积分可以写成 因此有 由于时间间隔 及区域V都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以式（1.1.23）左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即 （1.1.24） 其中 . 方程（1.1.24）称为三维热传导方程。 若物体内有热源，其强度为 , 则相应的热传导方程为 其中 作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆（或一块薄板），或者即使不是细杆（或薄板），而其中的温度只与 x，t（或x，y，t）有关，则方程（1.1.24）就变成一维热传导方程 和二维热传导方程 如果我们考虑稳恒温度场，即在热传导方程中物体的温度趋于某种平衡状态，这时温度u与时间t无关，此时方程（1.1.24）就变成Laplace方程（1.1.22）。由此可见，稳恒温度场内的温度也满足Laplace方程。 在研究气体或液体的扩散过程时，若扩散系数是常数，则所得的扩散方程与热传导方程完全相同。 §1.2 定解条件 上一节所讨论的是如何将一个具体问题所具有的规律用数学式子表达出来，既得到了该物理现象所满足的泛定方程，除此之外，还需要把这个问题所具有的特定条件也用数学式子表达出来，这是因为任何一个具体的物理现象都是处在特定条件之下的。 比如上节导出的弦振动方程是一切柔软均匀弦作微小横向振动的共同规律，但我们知道，一个具体的物理运动状态一定与此时刻之前某个时刻的状态以及对弦两端的约束有关。因此，研究弦的具体运动，除了列出方程外，还必须给出其所处的特定条件，其它物理现象也如此。 各个具体问题所处的特定条件，即研究对象所处的特定“环境”和“历史”，定义为数学物理问题的边界条件和初始条件。 对于随着时间变化的问题，必须考虑研究对象特定的“历史”，就是说追溯到运动开始时刻的所谓“初始”时刻的状态，即初始条件。 对热传导问题初始状态指的是物理量 的初始分布（初始温度分布等），因此初始条件是 一、初始条件 其中 为已知函数。 (2.1.1) 对振动过程（弦、膜、较高频率交变电流沿传输线传播、电磁波等）只给出初始“位移”（1.2.1）