一误差.ppt

(3) 避免小数作除数和大数作乘数 在算法设计时,要避免这类算法在计算公式中出现 在进行乘法时，两数中如果有一个大数，则积的误差就有可能要放大很多； 在进行除法时，如果除数太小，则商的误差就可能要放大很多； 2. 提高算法效率问题 (1) 尽量减少运算次数 15次乘法运算而不是255次 对多项式 使用秦九韶算法 可大大减少计算量 数值计算方法 第一章 绪论 课程的研究对象与特点 以计算机为工具,求解各种数学模型,都要经历三个过程: 总体设计——模型的细化 详细设计——主要为算法设计 程序设计 计算机数值方法研究的是将数学模型化为数值问题， 并研究求解数值问题的数值方法进而设计数值算法 数值计算的误差 误差的基本理论 1 用计算机进行实际问题的数值计算时,往往求得的是问题的近似解,都存在误差 误差来源与分类 在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际问题有一定的区别.—模型误差 在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的,即有观测误差 误差来源与分类 如: 若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差。 Taylor展开 误差来源与分类 机器字长有限—舍入误差 由于计算机的字长有限,只能对有限位数进行运算,超过的位数按一定规则舍入,产生“舍入误差”. 误差来源与分类 小结:模型误差.观测误差不是数值分析讨论的内容,计算方法主要研究截断误差和舍入误差在计算过程中的传播和对计算结果的影响,以提高计算的精度. 2 误差是不可避免的,既要允许误差,又要 控制误差.要重视误差分析,分析误差的来源,误差的传播及对误差作出估计 数值计算的误差 误差的基本理论 例：计算 ? 公式一： 注意此公式精确成立 记为 则初始误差 ? ?? ? ! ! ! 考察第n步的误差 我们有责任改变。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 迅速积累，误差呈递增走势。 可见初始的小扰动 ? 公式二： 注意此公式与公式一 在理论上等价。 方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n N )。 可取 取 考察反推一步的误差： 以此类推，对 n N 有： 误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法 /* stable algorithm */ 在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。 误差与有效数字 绝对误差/* Absolute error */ 定义1. 例 用一把有毫米的刻度的米尺,来测量桌子 的长度,读出的长度x* =1235mm 这是桌子实际长度x一个近似值,由米尺的精度知, 这个近似值的误差不会超过0.5mm(即绝对误差限为1/2mm),则 1234.5≤x≤1235.5 即x∈[1234.5,1235.5] 或x=1235±0.5mm 绝对误差的某个上界 绝对误差限或误差限, 或 且 误差限的大小还不能完全表示近似值的好坏. 注：e* 理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。 e* 0 不唯一，当然 e* 越小越具有参考价值。 显然 哪个更精确呢? 定义2. relative error 绝对误差限 相对误差限 往往未知 代替相对误差 代替相对误差限 条件是 较小,这是因为 注：从 的定义可见， 实际上被偷换成了 ，而后才考察其上限。那么这样的偷换是否合法？ 严格的说法是， 与 是否反映了同一数量级的误差？ 因此 是 的平方项集,所以可以忽略不计! 例. 解: 可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将 不超过其末位数字的半个单位 有效数字 有4位有效数字 有6位有效数字 有8位有效数字 只有4位有效数字 定义2. 那么 注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如果写成0.123?105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！ 问题：对于 y = f (x)，若用 x* 取代 x，将对y 产生什么影响？ 分析：e*(y) = f (x*) ? f (x)