二系统可靠性模型.ppt

* 故有1～500中能被 3 或 5 除尽的数的个数为 因为1～500中能被3除尽的数的个数： 能被5除尽的数的个数： 同时被3和5除尽的数的个数： * 由以上两个例子可见，用式（2-1）和式（2-2）计算相交集合的并集元素数目（或文氏图面积）及相交事件的发生概率比较繁琐复杂。 若集合或事件不相交（不相容），则计算就简单多了。对式（2-1）可为 对式（2-2）可为 为此，把相交集合的运算等效地转换成不相交集合的运算，下面介绍一些不交型算法的常用基本公式。 返回1 * 1.不交型布尔代数及其运算规则 三、不交型算法 “不交并”（即“逻辑不交和”）运算“ ”是指首先把输入变量（如欲计算的集合）不交化处理后再进行布尔代数的“并”运算“∪ ”的一种运算方法。 ∪ 如A、B为相交的两个集合，它们的并A∪B = B∪A文氏图见图2-14(a)。而它们的不交并A B=A∪A′B 和B A = B∪B′A 的文氏图见图2-14（b）和（c）所示。 ∪ + ∪ + ∪ + ∪ + 图2-14 A B ， B A 的文氏图 (b) (c) 图2-14 A∪B 的文氏图 (a) + * 图2-14 A、B合的并与不交并文氏图 从图2-14中可以明显地看出，虽然A∪B=A B ，但等号左边是由两个相交的集合（A和B）进行并计算而得，而等号右边是由两个不相交的集合（A和A′B）进行并计算而得， B∪A=B A 的情况同样也是这样。 ∪ + ∪ + * 因为可靠性计算是概率计算，故人们希望使用变量的不交并来进行概率计算。 (1) 不交并的计算式 ∪ + ∪ + ∪ + (2) 不交型的基本规律及定理 ∪ + ① 交换律 A B = B A , A B =B A ∪ + A（BC） = （AB）C ② 结合律 A （B C） = （A B） C ∪ + ∪ + ∪ + ∪ + * ③ 分配律 A(B C ) = AB AC A (BC ) = (A B) (A C) ∪ + ∪ + ∪ + ∪ + ∪ + ④ 吸收律 A AB = A , A(A B) = A ∪ + ∪ + ⑦ 对偶性定理 ⑤ 基元律 0 A = A , 1· A = A 1 A = 1 , 0 · A = 0 ∪ + ∪ + ⑥ 补元律 A A′= 1 , A·A′ = 0 ∪ + ? 对偶定理—可以证明不交型布尔代数的任何一个定理的对偶式仍是一条定理，叫做原定理的对偶定理。 ? 对偶式—在不交型布尔代数中，把 “ ”和“ · ”互换， “ 0 ”和“ 1 ”互换，“ˊ”运算不变，则得对偶式。 ∪ + * ⑧ 不交型德摩根(DeMorgan)定理 如果能证明原定理成立，则其对偶定理必定成立。可以看出以上6个基本规律中的1、2式和3、4式均互为原定理和对偶定理。例如： ∪ + ① 交换律 A B = B A ? A · B =B · A ∪ + (A B) ′= A′· B′ (A·B)′ = A′ B′ ∪ ∪ + + * 2. 直接不交化算法 这里只介绍直接不交化计算的不交型 DeMorgan定理。 根据式（2—3）可得： ∪ + ∪ + ∪ + ∪ + ∪ + ∪ + 故有 * 根据对偶定理，可得： 根据式（2—3），上式可得： ∪ + ∪ + ∪ + ∪ + ∪ + ∪ + 故有 * 以上推导出的式（2—4）和式（2—5）即是直接不交化计算的不交型De Morgan定理。 如设变量 A、B，则有 也可推导出 * 3. 不交型积之和定理 例如根据式（2 - 4）和分配律可得： * （3）由定理2可以得到以下两个推论： * * 推论 2：若 均和 无共同元素， 且