直线与平面的关系和其应用.docVIP

直线与平面的关系及其应用 8.6.1 两平面之间的关系 设两个平面的法向量为n1和n2，θ=（n1，^n2），我们把α=min｛θ， π-θ｝称为两个平面的夹角。 假设两个平面为为1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2X+B2Y+C2Z+D2=0. 它们的法向量分别为n1=｛A1，B1，C1｝，n2=｛A2，B2，C2｝.个平面的夹角为α，根据规定，0≦α≦π/2，且cosα=｜cos（n1，?n2）｜=(｜记两n1.n2｜)/(｜n1｜.｜n2｜)=｜(A1A2+B1B2+C1C2｜)/(.). 平面1,2相互垂直的充分必要条件是n1⊥n2，即A1A2+B1B2+C1C2=0. 平面1,2相互平行的充分必要条件是n1∥n2，即A1/A2=B1/B2=C1/C2. 8.6.2 两直线之间的关系 设s1，s2分别是直线L1，L2的方向向量，θ=(s1^s2)。我们称α=min｛θ，π-θ｝为直线L1，L2的夹角。 假设两直线方程为L1：(x-x1)/m1=（y-y1）/n1=（z-z1）/p1，L2：(x-x2)/m2=（y-y2）/n2=（z-z2）/p2.它们分别过p1（x1，y1，z1），p2（x2，y2，z2）；方向向量分别为s1={m1，n1，p1}，s2={m2，n2，p2}，记两直线的夹角为α，则cosα=｜cos（s1，s2）=（｜s1.s2｜）/（｜s1｜.｜s2｜）=(｜m1m2+n1n2+p1p2｜)/(.) L1.L2相互垂直的充分必要条件是s1⊥s2，即m1m2+n1n2+p1p2=0. L1，L2相互平行的充分必要条件是s1∥s2,即m1/m2=n1/n2=p1/p2. 直线L1，L2共面的充分必要条件为s1，s2，p1p2的混合积（s1×s2）.p1p2向量=0 8.6.3 应用 1。一平面通过两点m1（1,1,1）和m2（0,1，，-1）且垂直与平面x+y+z=0,求他的方程。 解：设n={A,B,C}为所求平面的法向量。因m1m2={-1，0,2}在所求平面上，所以-A-2C=0.又所求平面垂直于也只平面，所以A+B+C=0.所以A=-2C,B=C.由点法式方程知，所求方程为 -2C(x-1)+C(y-1)+C（z-1）=0 所以2x-y-z=0 求通过点m0（1,5，-1）且与直线L0:(X-5)=(y+1）/-1=z/2垂直相交的直线方程。 ①作一个过m0且垂直于L0的平面：（x-1）-（y-5）+2（z+1）=0， X-y+2z+6=0 ②再求L0与该平面的交点，把L0写成参数方程 x=5+t，y=-1-t，z=2t 所以平面的方程 （5+t）-(-1-t)+4t+6=0 得t=-2，交点m1（3,1，-4）. ③写过m0（1,5，-1），m1（3,1，-4）的直线方程 （X-1）/（3-1）=（y-5）/（1-5）=（z+1）/（-4+1）， 即 （X-1）/2=(y-5）/-4=（z+1）-3.