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矩阵对角化的若干方法 冯莉 （吕梁学院汾阳师范分校数学与科学系，山西吕梁，032200） 摘 要：矩阵对角化是矩阵理论中的一个重要问题，本文主要介绍了三种将矩阵对角化的方法和一些特殊矩阵对角化的方法，并以例题加以说明。 关键词：可对角化；特征值；特征向量；对角化方法；矩阵初等变换 引言 形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，研究矩阵对角化问题是很有实用价值的。主要体现在线性变换对不同基下矩阵的相似关系和二次型在化简过程中矩阵之间的合同关系。利用这些关系可以很快求出矩阵的方幂、方阵的行列式和逆、幂等矩阵的秩与迹的关系等问题。另外，矩阵对角化对于我们在几何上研究二次曲面也有一定的帮助。然而，我们知道方阵在复数域上一定与上（下）三角阵相似，在一些特殊情况下，它才与对角阵相似。基于此，本文介绍矩阵对角化的三种方法：用特征值和特征向量将矩阵对角化、用矩阵的初等变换将矩阵对角化、用矩阵的乘法运算将矩阵对角化，然后介绍了几种特殊矩阵对角化的方法作为补充。 有关定义、命题与结论 为了全文的完整叙述，摘录有关命题、结论、定义如下： 定义 如果数域上，对级矩阵存在一个可逆矩阵使为对角形矩阵，则称矩阵在数域可对角化；当可对角化时，我们说将对角化，即指求可逆矩阵使为对角形矩阵。 由特征值、特征向量的定义，的特征值在主对角线上的次序应与其相应特征向量在可逆矩阵的次序相一致。 命题1 阶方阵与对角阵相似有个线性无关的特征向量 推论1 阶方阵有个不同特征值，那么与对角阵相似 命题2 设阶方阵的全部特征值为，那么与对角阵相似，我们这里称叫做特征子空间的几何维数 推论2 阶方阵与对角阵相似的每一个特征值的代数重数等于它的几何重数 以上结论是矩阵对角化方法的理论基础，其他的定理、方法都是在此基础上推导出来的。 矩阵对角化的三种方法 利用特征值和特征向量将矩阵对角化 由于这种方法相对来说比较基础、简单、机械，一般教材都有详细介绍，这里用图示加以总结。 利用矩阵的初等变换将矩阵对角化 定理 如果经过初等变换化为，其中表示特征矩阵的转置，为对角阵，则 1）的特征值为对角线上元素乘积所得的关于多项式的根 2）对于的每一个特征值，其特征向量是中与的零行对应的行向量 3）由2中的推论2可得出，可以对角化的充要条件是中零行的数目等于的重数 说明：对作初等变换使化为的过程中，使用的列变换不影响的线性无关的解，从而收到了特征值、特征向量同步求解的效果，以致于可逆矩阵和对角矩阵的求解可以分别从最终的矩阵和中“读”出来。 利用矩阵的乘法运算将矩阵对角化 定理 设是在数域上的全部互不相同的特征值 1）若，则可以对角化，反之则反 2）设是重根，则的属于的特征向量是矩阵列向量组中的前列 说明：相比起来此法在具体对角化的过程中运算量没有明显减少，但因其步骤简单、求解思路清晰可以作为利用数学软件求解的理论依据。因为计算机在求解特征值、矩阵乘积时只需要一行简单的代码即可完成。 例 判定矩阵可否对角化，若可以，求可逆矩阵，使为对角阵 解法一：，所以特征值是-4和2（二重） 解齐次线性方程组，得一基础解系为 解齐次线性方程组，得一基础解系为和，特征值2的代数重数等于其几何重数，所以可对角化。 取，则 解法二： ，故的特征值是-4和2（二重） ，得是属于-4的特征向量。 ，得和是属于2的特征向量。于是，取，则 解法三：由上知-4和2是的全部不同的特征值，容易验证 =0，所以可对角化。由定理可知，2是二重根，的属于2的特征向量是矩阵列向量组的前2列；的属于-4的特征向量是矩阵 列向量组的前1列，由此可得出可逆矩阵为： ，则 上述3种方法各有利弊，在使用的时候须结合矩阵本身的特点加以区别对待，灵活把握。 几种特殊矩阵对角化的方法——对一般矩阵对角化方法的补充 实对称矩阵的对角化 实对称矩阵一定可对角化，可以按照合同关系利用二次型的配方法、按照相似关系利用特征值、特征向量将其对角化。 一般教科书给出的方法可以简述为：（1）求特征值（2）求对应的特征向量（3）将特征向量标准正交化（4）写出及。这里限于篇幅不举例介绍。 循回方阵的对角化 基本循回阵的对角化 阶矩阵称为基本循回阵，容易求出它的特征方程为 ，在复数域上有个不同的特征根： 取向量，则有（因），则，为特征值对应的的特征向量。做矩阵。因为为Vandermonde行列式，所以可逆。 循回阵的对角化 矩阵称为循回阵，可以由基本循回阵的多项式表出：，设，则 ，所以循回阵都是可以对角化的。 对合矩阵一定可以对角化 设为对合矩阵，则。 设为的特征值，为属于的特征向量， ，又，得，移项得，即 由+，对特征值1，齐次线性方程组=0有个特征向量。对特征值-1，齐次线性方程组=0有个特征向量。又因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以有个无关的特征向量，从而