抽象控制不等式理论基础.pdf

中国科学 A 辑 : 数学 2009 年 第 39 卷 第 7 期 : 873 ∼ 891 抽象控制不等式的理论基础 杨定华 四川师范大学数学与软件科学学院, 成都 610066 E-mail: yangdinghua@; yangdinghua@ 收稿 日期: 2008-04-27; 接受 日期: 2008-12-08 国家重点基础研究发展规划基金 (批准号: 2004CB318003) 和四川省教育厅 自然科学重点基金 (批准号: 07ZA087) 资 助项 目 摘要 用公理化 的方法, 提 出了抽象平均 、抽象 凸函数和抽象控制等概念, 它们分别 是平均、凸函数和控制等概念 的相应推广. 通过逻辑演绎, 建立 了抽象控制不等式的基 本定理: 对任意的抽象平均 Σ 和 Σ , 以及 区间 I 上任意的抽象 Σ → Σ 严格上 凸函 数 f (x), 如果 x , y ∈ I (i = 1, 2, . . . , n) 满足 (x , x , . . . , x ) ≺Σ (y , y , . . . , y ), 则有 i i 1 2 n n 1 2 n Σ {f (x ), f (x ), . . . , f (x )} Σ {f (y ), f (y ), . . . , f (y )}, 它是控制不等式基本定理 的延伸 1 2 n 1 2 n 和推广. 另外通过提 出抽象向量平均等概念, 将这个基本定理推广到 n 维空间, 建立 了 抽象向量平均 的基本控制不等式: 对于任意对称 凸集 S ⊂ Rn 和 S 上 的 n 元抽象对 称 Σ → Σ 严格上 凸函数 ϕ(¯x), 如果 x,¯ y¯ ∈ S 满足 x¯ ≺Σ y¯, 则有 ϕ(¯x) ϕ(¯y); 如 n 果 向量组 x¯ , y¯ ∈ S (i = 1, 2, . . . , m) 满足 {x¯ , x¯ , . . . , x¯ } ≺Σ {y¯ , y¯ , . . . , y¯ }, 则有 i i 1 2 m n 1 2 m Σ {ϕ(¯x ), ϕ(¯x ), . . . , ϕ(¯x )} Σ {ϕ(¯y ), ϕ(¯y ), . . . , ϕ(¯y )}. 1 2 m 1 2 m 关键词 抽象平均 抽象凸函数 抽象控制 抽象控制不等式 MSC(2000) 主题分类 26A51, 26B25, 39B62, 52A01, 60E15 1 引言 众所周知, 不等式在数学的各个领域发挥着重要 的作用, 尤其在以分析为主要研究工具 的学科或领域. 例如, 数学 中许多结论 的证 明往往都要用到已知的不等式, 或者所要证 明的 结论常常归结为证 明某个不等式. 但不等式作为一 门系统 的学科则是 1934 年 Hardy 等 [1] 出版 《Inequalities 》一书以后 的事, 这是举世公认 的, 该书的影响深远, 是数学上的一本经典 著作. 1961 年 Beckenbach 和 Bellman[2] 所著 的 《Inequalities 》一书, 包含 了 1934–1960 年 期 间得到的关于不等式 的某些结果. 另外,