大学课程近世代数-阿贝尔群与循环群、陪集与拉格朗日定理、同态同构学习讲义.ppt

5.5 阿贝尔群和循环群 一. 阿贝尔群 定义 如果群G，*中的运算*是可交换的，则称该群为 阿贝尔群，或称交换群。 例 设S,*是有限的可交换独异点，且对任意的a,b,c∈S，等式 a*b=a*c 蕴含着 b = c，证明S,*是阿贝尔群。 分析 只要证明S中的每个元素都存在逆元，那么S,*就是阿贝尔群。 设任意的b∈S ……存在正整数i，j，使得bi = bj （ ij） 即： bi * e= bi * bj－i由题意知bj－i就是幺元，则b的逆元 为…… 定理1 设G,*是一个群，G,*是阿贝尔群的充要条件是 对任意的a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。 证明 1）充分性 设对任意的a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 因为 a*(a*b)*b= (a*a)*(b*b) = (a*b)*(a*b) = a*(b*a)*b 所以 a-1 *(a *(a * b) * b) * b-1= a-1 *(a *(b * a) * b) * b-1 即 (a-1 *a) *(a * b) * (b * b-1)= (a-1 *a) *(b * a) * (b * b-1) 即得a * b = b * a，因此G,*是阿贝尔群。 2）必要性= 设G,*是阿贝尔群，则对任意的a,b∈G，有 a*b=b*a 因此 (a*a)*(b*b)= a*(a*b)*b = a*(b*a)*b = (a*b)*(a*b) 循环群 定义 设G，*是群，若在G中存在一个元素a，使得G中的 任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a 称为循环群G，*的生成元。 循环群的生成 元可以不唯一 ａ　ｂ　ｅ ｂ　ｅ　ａ ｅ　ａ　ｂ ａ　ｂ　ｅ ａ ｂ ｅ * a*a=b a*a*a=e b*b=a b*b*b=e 定理2 任何一个循环群必定是阿贝尔群。 证明 设G，*是一个循环群，生成元为a， 那么对于任意的x,y∈G， 必有r,s∈I，使得x=ar 和 y=as 且 x * y= ar * as= ar+s = as+r = as * ar =y * x 因此G,*是一个阿贝尔群。 定理3 设G,*是一个由元素a∈G生成的有限循环群。如果G 的阶数是n，即|G|=n，则an=e，且 G={a，a2，a3，…，an-1，an=e}， 其中e是G,*中的幺元，n是使an=e的最小正整数。 证明 假设对于某个正整数m，mn，有am=e。那么，由于 G,*是一个循环群，所以G中的任何元素都能写为ak (k∈I)，设k=mq+r，其中，q是某个整数，0≤r＜m。 这就有 ak= amq+r= (am)q * ar= ar 这就导致G中的每一个元素都可以表示成ar (0≤r＜m )， 这样，G中最多有m个不同的元素，与|G|=n矛盾。 所以 am=e (mn)是不可能的。 称ｎ为元素ａ的阶 进一步证明a，a2，a3，…，an-1，an都不相同。(反证) 假设ai=aj，其中1≤i＜j≤n，就有 aｉ= aｉ* aj-i = aｉ* e， 即aj-i 为幺元，而且1≤j-i＜n ， 这已经由上面证明是不可能的。 所以， a，a2，a3，…，an-1，an都不相同， 因此 G={a，a2，a3，…，an-1，an=e　} 作业P200 (1)(5) 5.7 陪集与拉格朗日定理 一. A、B的积，A的逆 定义 设G，*是一个群，A,B∈P(G)且A≠ ? ，B≠ ?，