带有临界点解析函数圆模式逼近.pdf

高校应用数学学报 2014，29(3)：352—360 带有临界点的解析函数的圆模式逼近 郭秀凤 ，蓝师义 (1．贺州学院 理学院，广西贺州542899； 2．广西民族大学理学院，广西南宁 530006) 摘 要：一个 圆模式是指复平面C上具有特定交角的一种圆格局．给定有界单连通区 域 cC内一个具有有限多个临界点的解析函数F，首先利用有分枝 圆模式枝术构造 了F的离散近似解，然后证明了这个近似解序列在 的紧子集上一致收敛于该解析函 数F．这为带有临界点的解析函数的数值计算提供一种新的方法． 关键词：三角剖分；圆模式；解析函数；近似解 中图分类号：O175．5 文献标识码：A 文章编号：1000—4424(2014)03—0352—09 §1 引 言 已经知道，圆填充(circlepacking)是离散近似共形映射的一个强有力的工具．圆填充与经典 复分析之间的各种联系 已经被研究，而且已经取得 了一系列重要的成果，关于这方面的背景知 识详见文献f11．1987年Rodin与Sullivan 证明TThurston 方案的收敛性，即六边形圆填充收 敛于Riemann映射函数．这个收敛性结果被推广到一般圆填充的情形 ’；圆填充C一无穷阶收敛 于Riemann映射函数也已被研究 ’．Dubejko 应用圆填充方法建立了一些典型解析函数的 离散逼近．然而，对圆格局的研究，由其内部不相交的圆组成的经典圆填充发展到其内部可以重 叠的圆组成的圆模式(circlepattern) ．最近，圆模式被用来离散近似共形映射和极小曲面 等 … ．在本文，将应用圆模式技术来讨论带有有限多个临界点的解析函数的离散近似，也就 是，要构造下面命题1中的解析函数F的圆模式离散近似函数序列，然后，证明这个离散近似函数 序列在任意紧子集上一致收敛于解析函数F． 命题1(见f1，19]) 设 CC为包含两个定点0和∈0的有界单连通区域．假设入是有界单 连通区域 的边界上的一个正的连续函数且 =f(1，k1)… ．，( ， ))是 ×N上的一个子集， 其中N表示非负整数集．则在 上存在唯一的一个解析函数F使得F(o)=0，F()0，且F的 临界点集等于 ，IFl连续地扩充到 的边界时有IFl三 ． 收稿 日期：2014—02—15 修回日期：2014-07-07 基金项目：国家自然科学基金；广西自然科学基金(2013GxNsFAA019015)；广西混杂计算与集成电路 设计分析重点实验室开放基金(HcIC201305)；贺州学院科研项 目(2014ZC13) 通讯作者：Emaihshiyi1an05@sina．corn；guoxiufeng198282@126．com 郭秀风等：带有临界点的解析函数的圆模式逼近 353 注意到Dubejk0 已经利用六边形圆填充的方法讨论了上面解析函数F的离散近似．这里将 文Is]的结果推广到圆模式的情形．然而，与文81比较，其主要不同是：第一，构造近似解所采用 的圆格局不同，本文应用的是圆模式，即任意两个相邻圆之间具有指定的交角，而文8『1利用的是 圆填充，即任意两个相邻圆的交角等于0；第二，组合不一样，文Is1中对应于圆填充的组合是度等 于6的三角剖分，而这里与圆模式对应的组合是具有任意有界度的三角剖分．本文的方法如下： 首先，利用有界度单叶圆模式P()填满定义域 ，这里P()的圆半径趋近于零(当几一 。。时)．根 据圆模式的Andreev—Thurston定理，在复平面C内存在一个与P 【)组合同构的具有指定分枝集 的有分枝圆模式Q(…，利用圆模式P()与Q(”)之间的对应关系建立F的离散近似解；其次，基于 具有相同组合的两个圆模式的半径比函数满足最大值原理，利用解析函数与复多项式之间的关 系，对有分枝圆模式Q()进行恰当规范化后证明了这个近似解序列在 的紧子集上一致收敛于 解析函数F． 本文组织如下：§2给出圆模式的概念及一些相关的结果；§3构造解析函数F的近似解，并导 出一些相关的结果；§4将证明近似解序列一致收敛于具有有限个临界点集的解析函数F．