度量空间完备化.ppt

第五节 度量空间的完备化 教学目标 1.掌握等距同构和等距同构映射的定义 2.了解度量空间的完备化定理 教学重点和难点 如何把一个不完备的度量空间加以“扩大”，即成为某个完备 度量空间的稠密子空间。 由三点不等式 由此可知 是 中柯西点列。因为 是 到 上等距映射，令 则 是 中柯西点列，令 ，则 ，又由（4） 但上式右边当 足够大时，可以小于事先给定的任意正数 ，所以 因而 是完备度量空间。 （4）证明 的唯一性 如果 是另一个完备度量空间，而且 与 中稠密子集 等 距同构。 作 到 上映射 如下：对任何 ，由 在 中稠密，存在 中 点列 ，使 ，但由于 与 等距同构， 也与 等距同构，因 此 与 等距同构，设 为 到 上的等距同构映射，由 ，易知 是 中柯西点列，由 的完备性，存在 使 。 令 首先，这样定义的 与 无关，即若另有 ， 并且 ，则 事实上， 所以 下证 是 到 上等距映射。对任何 ，由于 在 中稠密，所以在 中存在点列 ，使 ，同前证明，可知 为 中柯西 点列，故有 ，使 ，易知 ，即 是映 到 上的 映射。又对任何 ，有 中点列 和 ，使 ， 所以 这证明了 是一个等距映射，所以 与 等距同构。证毕。 如果我们把两个等距同构的度量空间不加以区别，视为同一，那么定理1可以改 述如下： 定理1’ 设 是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间 使 为 的稠密子集。 * * 我们曾指出直线上有理数全体 作为 的子空间不是完备的度量空间，但是我们可以将 “扩大”成完备的度量空间 ，即在 中加入“无理数”，使之成为新的度量空间 ，并且 在 中稠密。下面我们要说明每一个不完备的度量空间都可以加以“扩大”，即成为某个完备度量空间的稠密子空间，为此，首先介绍几个概念。 定义1 设 是两个度量空间，如果存在 到 上的保距映射 ，即 ，则称 和 等距同构，此时 称为 到 上的等距同构映射。 在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一的。 定理1 （度量空间的完备化定理） 设 是度量空间，那么 一定存在一完备度量空间， 使 与 的某个稠密子空间 等距同构，并且 在等距同构意义下是唯一的，即若 也是一完备的 度量空间，且 与 的某个稠密子空间等距同构，则