3-1群同态及同构.ppt

近世代数 第三章 正规子群和群的同态与同构 §1 群同态、同构 一、定义1 定理2 两个代数系统 例2 证明 例3 定理3 定理3 定理3 定理4 例4 小结 群同态的性质 作业：5.6 若存在群 到群 的同态满射 ，则称群 与群 同态； 若存在群 到群 的同构映射 ，则称群 与群 同构. 假定 是集合 到 的一个满射， ，称 为 在 之下的象； ，称 为 在 之下的逆象. 为 群 与 同态， 是 到 的同态满射，则 (1) (2) (3) 定理1 (4) 是循环群，则 也是循环群. 二、群同态性质 同态， 与 若 是群， 则 也是群. 证明： ， 是群，有结合律，则 也有结合律； 是同态满射，有 是 的左单位元； 是 的左逆元 也是群. 注：在本定理中同态映射必须是满射. 例1 设G是正有理数乘群， 是全体正偶数对 ab＝2作成的半群. 则显然 φ：x →2 是G到 的一个同态映射.G是群但是 不是群. 关于 做成群. 证明：取 是 到 的同态满射， 而 是群， 因此 是群. 是 到 的同态满射， {全体正负奇数}， 代数运算均为数的普通乘法 正奇数 1 负奇数 -1 是群， 而 不是群. * *