多边形的内角与与外角与学习指导(含解答)-.doc

四边形的基本概念 四边形的内角和与外角和 多边形的内角和与外角和 【重点难点】 　　重点：1．四边形的基本概念： 　　（1）四边形：平面内，四条线段首尾顺次相接，如果任何两条线段都不在同一直线上，所形成的图形叫做四边形． 　　（2）各部分名称： 　　边：组成四边形各边的线段 　　顶点：相邻两边的公共点 　　内角：从四边形内部看相邻两边所成的角，简称为角． 　　对角线：连结四边形不相邻的两个顶点的线段． 　　外角：四边形的一条边与相邻边延长线组成的角． 　　（3）凸、凹四边形： 　　考虑四边形经同一边所在的直线，四边形的其他各边都在这条直线同一侧时，这样的四边形叫做凸四边形，否则叫做凹四边形． 　　2．四边形的内角和与外角和定理， 　　四边形内角和与外角和都等于360°． 　　3．多边形的内角和与外角和定理： 　　（1）几边形：平面内n（n≥3）条线段首尾顺次相接，如果其中任何两条线段都不在同一直线上，所组成的图形叫做n边形． 　　（2）多边形内角和定理：n边形内角和等于（n－2）·180°，（n≥3，n为自然数） 　　（3）多边形外角和定理：n边形外角和等于360°（n≥3，n为自然数） 　　难点：1．多边形内角和，外角和定理证明的方法，递推． 　　　　　2．由已知角度求n边形边数的方法． 　　 　　【讲一讲】 　　例1 求证：6边形的内角和为720° 　　分析：可以将6边形分割成几个三角形，求出三角形的内角和 　　证明：连AC、AD、AE 　　∵ △ABC，△ADE，△ACD与△AEF的内角和均为180° 　　 六边形ABCDEF的内角和为4×180°＝720° 　　例2 求证：n边形的对角线有条． 　　n－3n－3n－3n个顶点，因此可作n（n－3n边形有条对角线． 　　例3 一个正多边形，它的外角等于内角的，求这个多边形的边数． 　　分析：利用多边形外角和与内角和定理，及一个外角与内角的关系，可求：由于此多边形为正多边形每个内角都相等，每个外角也都相等． 　　解：设它的一个内角为，则外角为 　　∴ ∴ 　　∴ 它的外角为 　　∵ 多边形的外角和为360°这又是一个正多边形 　　 　　∴ 这个多边形为5边形． 　　例4 如果凸多边形的边数增加一条，则它的内角和增加多少? 外角和呢？请你证明你的结论 　　分析及解答：由多边形内角和定理：n边形的内角和为 　　（n＋1 　　∴ 　　 　　∴ 它的内角和增加180°，而由于多边形外角和均为360°，所以当边数增加一条时外角和不变，仍为360°． 　　 　　【同步达纲练习】 1．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则它是几边形？有几条对角线？ 2．若一个多边形的每个外角都等于20°，则它是几边形？ 3．若一个多边形的每个内角都等于120°，则它是几边形？ 4．若一个多边形的内角都相等，它的一个内角与它相邻的外角的差为100°，求这个多边形的边数． 5．一个17边形除了一个内角之外，其余各内角之和为2570°，求这一个角． 6．若凸多边形的n个内角与某一个外角之和是1125°，求n． 7．有两个多边形，如果它们都是各边相等，各内角相等的多边形，且这两个多边形的边数之比为1∶2．内角之比是3∶4，则这两个多边形的边数各是多少？ 　　8．如图，已知：四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C．求证：AD∥BC． 　　参考答案 　　【同步达纲练习】 　　1．（n－2）180°＝5×360°，n＝12 　　∴ ＝＝54条 　　2．n＝360°÷20°＝18（边形） 　　3．每个外角均为60°，则n＝360°÷60°＝6（边形） 　　4．设外角为? ，则内角为? ＋100 ∴ ? ＋??＋100°＝180° ∴ ? ＝40° 　　∴ n＝360°÷40°＝9（边形） 　　5．17边形内角和为（n－2）×180°＝（17－2）×180°＝15×180°＝2700° 　　∴ 这一内角为2700°－2570°＝130° 　　6．设这个外角为? 则（n－2）×180°＋? ＝1125° 　　∴ （n－2）×180°＝1125°－? 　　∴ n－2＝ 　　∴ n＝＋2＝ 　　∵ n为整数 ∴ ? 为45° n＝8 　　7．∵边数之比为1∶2 ∴ ∶＝1∶2 ∴ ＝2 　　∵ 各内角之比为3∶4 即，∴ 　　∴ 　　∵ ∴ 　　∴ ∴ 　　∴ 　　8．∵ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360° 　　又∠A＝∠D　∠B＝∠C 　　∴ ∠A＋∠B＝180° ∴ AD∥BC．