多边形及其内角与镶嵌(教师版).doc

多边形内外角和与镶嵌问题 一、知识归纳（一）多边形有关概念 　　1、多边形定义：在平面内，由不共线的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，组成多边形的线段，叫做多边形的边，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做外角．正多边形如果多边形的各内角都相等，各边也都相等，那就称它为正多边形. 　　n边形的内角和等于(n－2)·180°（n≥3的正整数）任意多边形的外角和等于360°. 　　注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. （）平面镶嵌 　　1、用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。 2、用相同的正多边形铺地板当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就铺成一个平面图形.二、重难点知识归纳 （一）多边形内角和定理的证明 　2、过n边形一个顶点连对角线，可以得(n－3)条对角线，并且将n边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形的内角和恰好是多边形的内角和，等于(n－2)·180°.3、在n边形一边上取一点与各顶点相连，得(n－1)个三角形，n边形内角和等于这(n－1)个三角形内角和减去所取点处的一个平角，即(n－1)·180°－180°=(n－2)·180°. 　　注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想.（二）多边形外角和定理的证明 　　多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，外角和等于n·180°－(n－2)·180°=360°. （三）多边形边数与内角和、外角和的关系 　　1、内角和与边数成正比，边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少.每增加一条边，内角和就增加180°.（反过来也成立） 2、多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.用来铺地的多边形必须满足同顶点的所有角的和等于360°. 三、典型例题讲解 例1、已知两个多边形的内角和的和为1980°，且这两个多边形的边数之比为23，求这两个多边形的边数. 例3、一个多边形，除了一个内角之外，其余各内角和为2750°，求这个多边形对角线的条数． 　　∵n为正整数，∴ 为整数， 　　又∵0°α180°，∴α=130°，∴n=18． 　　故多边形对角线的条数为（条） 例4、足球一般是由许多黑白相同的小皮缝合而成的，黑块呈五边形，白块呈六边形（如图所示）．已知黑块有12块，则白块有_____________.分析：观察可知每一个白块有3边与黑块相连，而黑块的每边都与白块的边相连，因此我们可以从边数的关系来求解．解答：设白块有x块，则与黑块相连的边数为3x， 　 　而黑块共有12×5=60条边．故3x=60，x=20． 　　 即白块有20块． A. B. C. D. 4.下列命题中，正确的有( D ) ①没有对角线的多边形只有三角形②内角和小于外角和的多边形只有三角形③边数最少的多边形是三角形④三角形的外角和小于任何一个多边形的外角和 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是(C) A 正方形 B正六边形 C 正八边形 D 正十二边形4、C 6.某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是( C ). A 正方形 B 矩形 C 正八边形 D正六边 7.下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是正（B ）2.多边形的边数增加一条时，其外角和 不变 ，内角和增加 180 . 4.正八边形的外角和是_ 360__，每个内角是 135 . 5.一个多边形有14条对角线，则这个多边形是 七边形 . 6.如图7-3-2，已知四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，则∠E+∠F= 180 . 7.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 360 时，就拼成一个平面图形. 8.能用一种正多边形拼成地面的有 3 、 4 、 6 . 10. 如图用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空；当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为 16 块；当白色瓷砖为n2块时，黑色瓷砖为 4n+4 。 三.解答: 1.一个五边形的五个外角的读数比是1∶2∶3∶4∶5，求这个五边形的五个内角的度数比. 1