6.1图基本概念.ppt

. 武汉大学国际软件学院唐存琛 刘峰 第6章 图 第6章 图 6.1 图的基本概念 6.2 图的连通性 6.3 图的矩阵表示 6.4 几种特殊的图 6.1 图的基本概念 6.1.1 无向图与有向图 6.1.2 顶点的度数与握手定理 6.1.3 简单图、完全图、正则图、圈图、 轮图、方体图 6.1.4 子图、补图 6.1.5 图的同构 无序对与多重集合 无序对: 2个元素构成的集合, 记作(a,b) 无序积: A?B={(x,y) | x?A?y?B} 例如 A={a,b,c}, B={1,2} A?B=B?A={(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)} A?A={(a,a), (a,b), (a,c), (b,b), (b,c), (c,c)} B?B={(1,1), (1,2), (2,2)} 多重集合: 元素可以重复出现的集合 重复度: 元素在多重集合中出现的次数 例如 S={a,b,b,c,c,c}, a,b,c 的重复度依次为1,2,3 无向图 定义6.1 无向图G=V,E, 其中V??称为顶点集, 其元素称为 顶点或结点; E是V?V的多重子集, 称为边集, 其元素称为 无向边，简称边. 有时用V(G)和E(G)分别表示V和E 例如, G=V,E如图所示, 其中V={v1, v2, …,v5} E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 有向图 定义6.2 有向图D=V,E, 其中V??称为顶点集, 其元素称为 顶点或结点; E是V?V的多重子集, 称为边集, 其元素称为有 向边，简称边. 有时用V(D)和E(D)分别表示V和E 有限图: V, E都是有穷集合的图 n 阶图: n个顶点的图 零图: E=?的图 平凡图: 1 阶零图 顶点和边的关联与相邻 设无向图G=V,E, ek=(vi, vj)?E, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi ( vj)关联. 若vi = vj, 则称ek为环. 无边关联的顶点称作孤立 点. 若vi ? vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次数为1; 若vi = vj, 则称ek 与vi 的关联次数为2; 若vi不是边e的端点, 则称e与vi 的关联 次数为0. 设vi,vj?V, ek,el?E, 若(vi,vj)?E, 则称vi,vj相邻; 若ek,el有一个 公共端点, 则称ek,el相邻. 对有向图有类似定义. 设ek=?vi,vj?是有向图的一条边, 又称 vi是ek的始点, vj是ek的终点, vi邻接到vj, vj邻接于vi 顶点的度数 设G=V,E为无向图, v?V, v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和 悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边 G的最大度?(G)=max{d(v)| v?V} G的最小度?(G)=min{d(v)| v?V} 例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4, ?(G)=4, ?(G)=1, v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环 顶点的度数(续) 设D=V,E为有向图, v?V, v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和 v的入度d?(v): v作为边的终点次数之和 v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和 d(v)= d+(v)+ d-(v) ?+(D), ?+(D), ??(D), ??(D), ?(D), ?(D) 悬挂顶点, 悬挂边 例如 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3, ?+=4, ?+=0, ??=3, ??=1, ?=5, ?=3 握手定理 定理6.1 任何图(无向图和有向图)的所有顶点度数之和都 等于边数的2倍. 证 图中每条边(包括环)均有两个端点, 所以在计算各顶点 度数之和时, 每条边均提供2度, m条边共提供2m度. 推论 任何图(无向图和有向图)都有偶数个奇度顶点 定理6.2 有向图所有顶点的入度之和等于出度之和等于边数 证 每条边恰好提供1个入度和1个出度 图的度数列 设无向图G的顶点集V={v1, v2, …, vn} G的度数列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数列:4,4,2,1,3 设有向图D的顶点集V={v1, v2, …, vn} D的度数列: d(v1),