6.第六章 图及网络分析.ppt

第六章 图与网路分析 图是最直观的模型 图论 Graph Theory 哥尼斯堡七桥问题 (K?nigsberg Bridge Problem) Leonhard Euler (1707-1783) 在1736年发表第一篇图论方面的论文，奠基了图论中的一些基本定理 很多问题都可以用点和线来表示，一般点表示实体，线表示实体间的关联 6.1 图与网路的基本概念 6.1.1图与网路 节点 (Vertex) 物理实体、事物、概念 一般用 vi 表示 边 (Edge) 节点间的连线，表示有关系 一般用 eij 表示 图 (Graph) 节点和边的集合 一般用 G(V,E) 表示 点集 V={v1,v2,…, vn} 边集E={eij } 6.1.2 无向图与有向图 边都没有方向的图称为无向图，如图6.1 在无向图中 eij=eji，或 (vi, vj)=(vj, vi) 当边都有方向时，称为有向图，用G(V,A)表示 在有向图中，有向边又称为弧，用 aij表示，i, j 的顺序是不能颠倒的，图中弧的方向用箭头标识 图中既有边又有弧，称为混合图 6.1.3 端点，关联边，相邻，次 图中可以只有点，而没有边；而有边必有点 若节点vi, vj 之间有一条边 eij，则称 vi, vj 是 eij 的端点(end vertex)，而 eij 是节点 vi, vj 的关联边(incident edge) 同一条边的两个端点称为相邻(adjacent)节点，具有共同端点的边称为相邻边 一条边的两个端点相同，称为自环(self-loop)；具有两个共同端点的两条边称为平行边(parallel edges) 既没有自环也没有平行边的图称为简单图(simple graph) 在无向图中，与节点相关联边的数目，称为该节点的“次”(degree)，记为 d ；次数为奇数的点称为奇点(odd),次数为偶数的点称为偶点(even)；图中都是偶点的图称为偶图(even graph) 6.1.3 端点，关联边，相邻，次 有向图中，由节点指向外的弧的数目称为正次数，记为 d+，指向该节点的弧的数目称为负次数，记为 d– 次数为 0 的点称为孤立点(isolated vertex) ，次数为 1 的点称为悬挂点(pendant vertex) 定理 1：图中奇点的个数总是偶数个 6.1.4 链，圈，路径，回路，欧拉回路 相邻节点的序列 {v1? ,v2? ,…, vn?} 构成一条链(link)，又称为行走(walk)；首尾相连的链称为圈(loop)，或闭行走 在无向图中，节点不重复出现的链称为路径(path)；在有向图中，节点不重复出现且链中所有弧的方向一致，则称为有向路径(directed path) 首尾相连的路径称为回路(circuit)； 6.1.4 链，圈，路径，回路，连通图 走过图中所有边且每条边仅走一次的闭行走称为欧拉回路 定理 2：偶图一定存在欧拉回路(一笔画定理) 6.1.4 连通图，子图，成分 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 ?V1, E2 ?E1， 则 G2 是 G1 的子图 无向图中，若任意两点间至少存在一条路径，则称为连通图(connected graph)，否则为非连通图( discon-nected graph)；非连通图中的每个连通子图称为成分 (component) 链，圈，路径(简称路)，回路都是原图的子图 平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交 6.2 树图与最小生成树 一般研究无向图 树图：倒置的树，根(root)在上，树叶(leaf)在下 多级辐射制的电信网络、管理的指标体系、家谱、分类学、组织结构等都是典型的树图 6.2.1 树的定义及其性质 任两点之间有且只有一条路径的图称为树(tree)，记为T 树的性质： 最少边的连通子图，树中必不存在回路 任何树必存在次数为 1 的点 具有 n 个节点的树 T 的边恰好为 n?1 条，反之，任何有n 个节点， n?1 条边的连通图必是一棵树 6.2.2 图的生成树 树 T 是连通图 G 的生成树(spanning tree)，若 T 是 G的子图且包含图 G 的所有的节点；包含图 G 中部分指定节点的树称为 steiner tree 每个节点有唯一标号的图称为标记图，标记图的生成树称为标记树(labeled tree) Caylay 定理：n (?2)个节点，有nn?2个不同的标记树 6.2.2 图的生成树 如何找到一棵生成树 深探法(depth first search)：任选一点标记为 0 点开始有哪些信誉好的足球投注网站，