07 第七节 线性方程组应用.doc

*第七节 线性方程组的应用 分布图示 ★ 引 言 ★ 网络流模型 ★ 例1 ★ 人口迁移模型 ★ 例2 ★ 投入产出平衡表 ★ 平衡方程 ★ 直接消耗系数 ★ 直接消耗系数的性质 ★ 平衡方程组的矩阵表示 ★ 平衡方程组的解 ★ 例3 ★ 完全消耗系数 ★ 最终产品变动的影响分析 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-7 内容要点 一、网络流模型 网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题时,线性方程组就自然产生了,例如,城市规划设计人员和交通工程师监控城市道路网格内的交通流量,电气工程师计算电路中流经的电流,经济学家分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者的分配等. 大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千未知量和线性方程. 一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成. 网络中的点称作联结点(或节点),网络中的连接线称作分支. 每一分支中的流量方向已经指定,并且流量(或流速)已知或者已标为变量. 网络流的基本假设是网络中流入与流出的总量相等,并且每个联结点流入和流出的总量也相等. 例如,下面两图分别说明了的流量从一个或两个分支流入联结点,分别表示从其它分支流出的流量,表示从其它分支流入的流量. 因为流量在每个联结点守恒,所以有和. 在类似的网络模式中,每个联结点的流量都可以用一个线性方程来表示. 网络分析要解决的问题就是:在部分信息(如网络的输入量)已知的情况下,确定每一分支中的流量. 二、人口迁移模型 在生态学、经济学和工程学等许多领域中经常需要对随时间变化的动态系统进行数学建模,此类系统中的某些量常按离散时间间隔来测量,这样就产生了与时间间隔相应的向量序列其中表示第次测量时系统状态的有关信息,而常被称为初始向量． 如果存在矩阵,并给定初始向量,使得,即 ( ) (*) 则称方程(*)为一个线性差分方程或者递归方程． 人口迁移模型考虑的问题是人口的迁移或人群的流动．但是这个模型还可以广泛应用于生态学、经济学和工程学的许多领域. 这里我们考察一个简单的模型,即某城市及其周边郊区在若干年内的人口变化的情况．该模型显然可用于研究我国当前农村的城镇化与城市化过程中农村人口与城市人口的变迁问题. 设定一个初始的年份,比如说2002年,用分别表示这一年城市和农村的人口．设为初始人口向量,即, 对2003年以及后面的年份,我们用向量 表示出每一年城市和农村的人口. 我们的目标是用数学公式表示出这些向量之间的关系． 假设每年大约有5％的城市人口迁移到农村(95％仍然留在城市),有12％的郊区人口迁 移到城市(88％仍然留在郊区), 如图下图所示,忽略其它因素对人口规模的影响,则一年之后,城市与郊区人口的分布分别为: ,. 因此,2003年全部人口的分布为 即 其中称为迁移矩阵. 如果人口迁移的百分比保持不变,则可以继续得到2004年,2005年,…的人口分布公式: , 一般地,有 () 这里,向量序列描述了城市与郊区人口在若干年内的分布变化. 注:如果一个人口迁移模型经验证基本符合实际情况的话,我们就可以利用它进一步预测未来一段时间内人口分布变化的情况,从而为政府决策提供有力的依据．关于这个问题我们放到第四章的第五节来研究. 三、投入产出平衡表 四、平衡方程 五、平衡方程组的解 六、完全消耗系数 七、最终产品变动的影响 例题选讲 例1(E01) 下图中的网络给出了在下午一两点钟,某市区部分单行道的交通流量(以每刻钟通过的汽车数量来度量).试确定网络的流量模式. 解 根据网络流模型的基本假设,在节点(交叉口)A,B,C,D处,我们可以分别得到下列方程: 此外,该网络的总流入(20+30+50)等于网络的总流出(30++40+10),化简得.把这个方程与整理后的前四个方程联立,得如下方程组: 取,则网络的流量模式表示为 网络分支中的负流量表示与模型中指定的方向相反. 由于街道是单行道,因此变量不能取负值.