空间点线面之间的位置关系和三垂线定理.docVIP

空间点、线、面之间的位置关系与三垂线定理 1．平面 平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 （1）））（1）利用反证法证明对角线AC、BD是共面直线，推出矛盾，从而证明是异面直（2）说明直线EF和HG必交于一点，然后证明这点在平面ADC内．又在平面ABC内，必在它们的交线AC上． ：（1）假设对角线AC、BD在同一平面α内，则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，∴AC、BD是异面直线．（2）∵E、H分别是AB、AD的中点又F、G分别是BC、DC的三等分点， ．∴EH∥FG，且EH＜FG．∴FE与GH相交 设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内．同理，O在平面ABC内．从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上． ），b与的关系是相交、平行、在平面内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面. ⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线） （2）） （向量与向量所成角 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. （3）是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. （或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面） 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. （1））线面平行”） 例4．判断下列命题的真伪： ①直线与平面内一条直线平行，则∥. （×）（平面外一条直线） ②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之） ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑥直线与平面、所成角相等，则∥.（×）（、可能相交） （3）线线平行”） （4）⊥，⊥，得⊥（三垂线定理）， 三垂线定理的逆定理亦成立. 正定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。 定 定 找 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。 正定理与逆定理的关系： 正定理 线射垂直 线斜垂直 （平面问题） 逆定理 （空间问题） 从而得出两个定理的关系： （教师板书）正定理：线射垂直线斜垂直（先平面后空间） 逆定理：线斜垂直线射垂直（先空间后平面） 例5、判断下列命题的真假： （1）若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （×） （2）若 a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （×） （3）若a是平面α的斜线，直线bì α且b垂直于a在另一平面β内的射影，则a⊥b （×） （4）若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥b （√） 例6.已知a，b，c是直线，?，?是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面?的是（ ） A.a⊥c,a⊥b，其中b??,c?? B.a⊥b,b∥? C.?⊥?，a∥? D.a∥b,b⊥? .如果直线l⊥平面?， ①若直线m⊥l,则m∥?； ②若m⊥?,则m∥l； ③若m∥?,则m⊥l； ④若m∥l,则m⊥?, 上述判断正确的是 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.②④ 例8.直角△ABC的斜边BC在平面?内，顶点A在平面?外，则△ABC的两条直角边在平面?内的射影与斜边BC组成的图形只能是 A.一条线段 B.一个锐角三角形 C.一个钝角三角形 D.一条线段或一个钝角三角形 .已知P为Rt△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，D为斜边AB的中点，则直线PD与平面ABC.A．垂直