立体几何和向量总结.docVIP

龙文教育个性化辅导授课案 教师： 学生： 时间： 年 月 日 段 一、授课目的与考点分析： 立 体 几 何 及 向 量 内 容 总 结 授课内容 知识精要： 平面及其基本性质： 公理一：如果一条直线有两个点在一个平面内，则这条直线上任意一点都在该平面内； 作用：判定一条直线在平面内的依据；结论?平面过直线?直线在平面内 公理二：如果两个平面有一个公共点，则这两个平面有且仅有一条过这点的公共直线； 作用：判定两个平面相交的依据； 公理三：经过不在同一条直线上的三点有且仅有一个平面； 推论①：经过一条直线和这条直线外一点有且仅有一个平面； 推论②：经过两条相交直线有且仅有一个平面； 推论③：经过两条平行直线有且仅有一个平面； 作用：确定平面的依据； 空间直线和平面： 空间两直线 直线与平面 平面与平面 位置关系 相交 平行 异面 在平面内 平行 相交 平行 相交 记号 异面 公共点 唯一 无 无穷多个 无 唯一 无 无穷多个 平行关系（重要结论）： ◆公理四：平行于同一直线的两直线平行；() ◆如果一条直线平行于一个平面，过这条直线的平面与这个相交，则这条直线与交线平行 () ◆两个平行平面与第三个平面相交，交线平行；() ◆垂直于同一平面的两直线平行；（） ◆若一个平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行，则这条直线平行于这个平面； () ◆若两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面；() ◆一个平面与这个平面外的一条直线垂直于同一平面，则这个平面与这条直线平行； （） ◆若一个平面内两条相交直线平行于一个平面，则这两个平面平行； () ◆平行于同一平面的两个平面平行；() ◆垂直于同一直线的两平面平行；（） 垂直关系（重要结论）： ◆如果两条直线所成的角为，则这两条直线垂直； ◆若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于该平面内任一直线() ◆若平面内一直线垂直于斜线在该平面内的射影，则这条直线垂直于该斜线； (，平面的斜线在内的射影是，) ◆若平面内一直线垂直于平面的斜线，则这条直线垂直于该斜线在该平面内的射影； (，平面的斜线在内的射影是，) ◆如果一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面；() ◆两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面；() ◆两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面； () ◆一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线也垂直于另一个平面； () ◆两平面所成的二面角是直角，则这两个平面垂直； ◆若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直；（） ◆若一个平面垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个；（） 空间中的角（关键是构造三角形或利用空间向量的数量积）： ◆异面直线所成的角：转化为相交直线所成的锐角或直角（构造三角形）；范围◆线面角：斜线与它在平面内的射影所成的锐角，垂直时为直角，在平面内或平行时为零角，取值范围是；（解决的关键是找到直线在平面内的射影） ◆二面角：从一条直线出发的两个半平面组成的几何图形，用其平面角度量； 平面角的作法：①定义：在棱上任意取一点，过这点分别在两个面内作棱的垂线； ②在棱上任意取一点，过这点作棱的垂面，得两条交线（射线）所成的最小正角； ③当已知一个半平面的垂线时，可用三垂线定理或其逆定理作。 空间中的距离（构造三角形或利用空间向量的模）：点到平面的距离（也可用等积法）. 空间中的面积和体积的计算：关键要记住公式，特别是公式中的系数，找到相应的元素. 多面体的概念和性质（棱柱中的矩形、正棱锥中的两个直角三角形、正棱台中的两个直角梯形；平行于底面的相似或全等的多边形）. 向量(平面向量和空间向量)：既有大小，又有方向的量； ◆向量的运算：加法、减法（平行四边形、三角形法则）；  实数与向量的乘积：，同向；，反向；，零向量；模为  向量的数量积(内积)：(为和的夹角)；变式：  数量积(内积)的几何意义：与在所在直线上的投影的乘积； ◆向量的坐标运算：，，则 ；； ◆存在，使 ◆（空间向量类似） ◆重要结论：①；②；③ ④向量共线（平行）的充要条件是存在使得⑤向量共面的充要条件是存在使得 例题选讲： 两条异面直线所成的角为，过空间中一点作与这两条异面直线都成角的直线可作多少条？ 在侧棱长为的正三棱锥中，∠ =∠ =∠ = 。若过点的截面，交于，交于，求截面周长的最小值。 有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四