毕达哥拉斯定理是一个基本几何定理.doc

毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。 ?? 在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[2]。埃及称为埃及三角形。实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查。相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。可以说真伪难辨。这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了。至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究。因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了。不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。[3]　(1)勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。 　　(2)勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。 　　(3)勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。 　　(4)勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。[3] 有关勾股定理的书籍 　　这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的?Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。 　　有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。 证法1 　　作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P. 　　 D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF RtΔEBD， 　　EGF = ∠BED， ?? 　　EGF + ∠GEF = 90°， 　　BED + ∠GEF = 90°， 　　BEG =180°―90°= 90° 　　又 AB = BE = EG = GA = c， 　　 ABEG是一个边长为c的正方形。 　　ABC + ∠CBE = 90° 　　 RtΔABC ≌ RtΔEBD， 　　ABC = ∠EBD. 　　EBD + ∠CBE = 90° 　　即 CBD= 90° 　　又BDE = 90°，BCP = 90°， 　　BC = BD = a. 　　 BDPC是一个边长为a的正方形。 　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 　　设多边形GHCBE的面积为S，则 　　A2+B2=C2 证法2 　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 　　过点Q作QPBC，交AC于点P. 　　过点B作BMPQ，垂足为M；再过点 　　F作FNPQ，垂足为N. 　　BCA = 90°，QPBC， 　　MPC = 90°， 　　 BM⊥PQ， 　　BMP = 90°， 　　 BCPM是一个矩形，即MBC = 90°。 　　QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， 　　ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， 　　QBM = ∠ABC， 　　又BMP = 90°，BCA = 90°，BQ = BA = c， 　　 RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 　　同理可证RtΔQNF RtΔAEF.即A2+B2=C2 证法3 　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， 　　EF=DF-DE=b-a，EI=b， 　　FI=a， 　　G,I,J在同一直线上， 　　CJ=CF=a，CB=CD=c， 　　CJB = ∠CFD = 90°， 　　RtΔCJB ≌ RtΔ