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19.1 多边形的内角和 第19章 四边形 生活中的平面图形 三角形 长方形 四边形 六边形 八边形 情景导入 在平面内，由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做三角形. 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形. 在平面内，由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做五边形. 在平面内，由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做四边形. 自主学习 顶点 内角 边 对角线 (连接不相邻两个顶点的线段) 多边形的相关元素 外角 表示：五边形ABCDE A C B D E 如图1是凸多边形； 图2不是凸多边形，今后如果不作说明，我们讲的多边形都是凸多边形. 图 2 如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形. 图 1 A C B D A C B D 在多边形的顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做这个多边形的外角. 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和. 如何求出任意五边形的内角和？你能想出几种办法？ 合作探究 活动1：探究多边形的内角和 多边形的边数 4 5 6 … n 分成三角形的个数 … 多边形的内角和 … 2 3 4 n-2 360° 540° 720° (n-2)×180° 从多边形的一个顶点出发，引出所有的对角线，从而把多边形分割为多个三角形. 定理： n边形的内角和等于(n－2)·180?（n为不小于3的整数） 说明：多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关. 已知一个多边形，它的内角和等于900°,求这个多边形的边数. 解： 设多边形的边数为n，因为它的内角和等于 (n-2)?180°， 所以， (n-2)?180°= 900o 解得: n=7 ?这个多边形的边数为7. 有一张长方形的桌面，现在锯掉它的一个角，有几种情况？剩下的残余桌面的内角和为多少？ 思考题： 三角形的外角和是多少度？你是怎样探究出来的？ A B C D E F 1.先把三角形的三个外角和三个内角这六个角 的和求出来，刚好是三个平角. 2.再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下 的就是三角形的外角和了！ 3×1800-(3-2) ×1800=3600 活动2：探究多边形的外角和 那么你能研究出四边形的外角和吗？ 整体思路：1.先求4个外角+4个内角的和； 2.再减去4个内角的和 容易看出，4个外角+4个内角=4个平角而4个 内角的和是（4-2） × 180 ° ，那么四边形的 外角和就是4× 180°-（4-2） × 180°= 360° 五边形的外角和是多少度？ 六边形的外角和是多少度？ n边形的外角和是多少度？ … … … … … … … 5×1800-(5-2) ×1800=3600 6×1800-(6-2) ×1800=3600 n×1800-(n-2) ×1800= 3600 n边形的外角和等于360? 理论证明： 所以n个外角与n个内角的和是: n×1800， 所以n边形外角和是: n×1800-(n-2) ×1800=3600. 而n边形的内角和是: （n-2）×1800 因为n边形的每个外角与它相邻的内角互补 (n≥3） 知识要点 变式：你能反过来由多边形外角和公式来推导多边形的内角和公式吗？ n?1800- 360o =n?1800-2×1800 =（n-2）?1800 分析：n×1800-(n-2) ×1800 例 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 解： 设这个多边形的边数为n，则它的内角和等于 (n-2)?180°， 因为外角和等于360o，所以 (n-2)?180°= 3×360o n = 8 ?这个多边形的边数为8. 三角形如果三条边都相等，三个角也都相等，那么这样的三角形就叫做正三角形. 如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形.如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等 . 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 (或正三边形) (或正四边形) 活动3：探究正多边形 （1）各条边都相等的多边形是正多边形； （2）各个角都相等的多边形是正多边形.