概率方法在数学竞赛中运用.pdf

2 中 等 数 学 概 率 方 法 在 数 学 竞 赛 中 的 运 用 武 炳 杰 (复旦大学数学科学学院2013级直博，200433) 中圈分类号：0211 文献标识码：A 文章编号：1005—6416(2015)04—0002—07 (本讲适合高中) = ∑(∑P(=，y=，，))+ 在中学课本中，同学们接触了一些简单 的有关古典概率的概念．本文通过概率模型 ∑(y∑P(=，l，=y)) 及一些竞赛题阐述概率方法在代数、数论及 组合问题中的运用与解题技巧．… = ∑xP(X=)+∑yP(1，=y) y 设P(A)表示事件A发生的概率． = E()+E(y)． 对一个取值范围是有限集 S的随机变量 1 运用概率模型 ， 定义 的数学期望为 E(X)= iP(X=)． 在遍历所有项的和式中，有时能套用概 率模型． 有以下主要结论： 例 1 设 S为平面上的有限点集 ，任三 (1)若基本事件全体所构成的样本空间 点不共线，对于顶点属于集合 Js的每一个凸 可戈Ⅱ分为 {Al，A：，…，4}，贝0A。，A ，…， 多边形P，设P的顶点数为a(P)，属于集合 互不相交且 P(uA)=1． S且在多边形P外部的点的个数为6(P)．证 (2)在概率空间中的随机变量 ，总存在 明：对于任意实数 (0 1)，均有 一 些事件，使得 ≥E()，也存在一些事件， ： P(1一)P)=1， 使得x≤E()． 其中，P遍历了集合 ．s中的所有凸多边形(包 利用数学期望解题，应注意其可加性 ，这 括三角形 ，且一条线段 、一个点和空集也分别 也给了同学们分解为示性函数、求和提供了 认为是凸二边形，凸一边形和凸零边形)．_2J 可行性． (第47届 IMO预选题) 可加性 对于任意两个随机变量 、y 证明 将集合 s中的点随机染色，每个 (注意未必独立)，总有 点染黑的概率为 ，染白的概率为1一． E(+y)=E()+E(y)． 对于任意凸多边形P，令事件 表示随机 证明 E(X+y) 染色后多边形P边界上的点均染黑、外部的点 = (+y)P(X= ，Y=y) 均染白的事件 显然，对任何凸多边形 P、P_，，事 = ∑ (=，y=y)+∑yP(X=x，l，=y) 件 、，互不包含，故∑ 。(1一) 表示 P(u )．而对于任何 种染法 可取凸多边形 收稿 日期：2014—10—31 修回日期