每个元有上覆盖紧生成格结构.pdf

高校应用数学学报 2014，29(4)：483—496 每个元有上覆盖的紧生成格的结构 左 凯，王学平 (四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都 610066) 摘 要：Dilworth与Crawley1973年提 出能否去掉上半模格条件来刻画元素的不可约 完全交既分解问题 以及能否去掉强原子格的条件刻画紧生成格结构的问题，本文首先 证明了每个元有上覆盖的紧生成格 中任意元有不可约完全交既分解，从而肯定地 回 答了Dilworth与Crawley-k~f_第一个 问题．之后，在每个元有上覆盖的紧生成格中引入 局部强模格与局部强分配格的概念，研 究了局部强模格 中独立集的特性 以及局部强模 格与局部分配格的结构，从而部分解决了Dilworth与Crawley-kz／~第二个 问题． 关键词：紧生成格；局部强模格；上半模格；原子格；不可约完全交既分解；独立集 中图分类号：O153．1 文献标识码： 文章编号：1000—4424(2014)04—0483—14 §1 引言及预备知识 格上元素 的刻画问题，特别是格结构与格的表示 问题一直是格理论 中的热 门课题 (参 见 1『—4])．Birkhoff[5]早在1937年就已经通过元素的不可约有限分解性质刻画出了一类完备格 的结构．之后，Crawley与Dilworth[6]对紧生成的对偶格中元素的一些分解性质做了研究 尤 其是在元素不可约完全并既分解 的存在性及分解 的唯一性与可替换性方面有很好 的工作， Dilworth与Crawley1973年还在 7『1中研究了紧生成强原子格的结构并讨论了紧生成强原子格中 元素的分解及性质，得到了在紧生成强原子格 中元素有唯一不可约完全交既分解的充要条件 是 为局部分配格等重要结论，由于紧生成强原子格中元素的分解性质是在紧生成强原子格条 件下探讨的，这极大地影响了该类格上元素分解结论的实用范围，故Dilworth与Crawley1973年 在 7『1中提出能否通过重新定义不可约分解以使在减弱强原子格 的条件下有类似结论成立的问 题．虽然GorbunovIs]Richter[9]，Erne[10】Walendziak[11--12]等对格中元素的不可约完全并既分 解性质进行了讨论，Semyonova[13]也在完全并半分配格中对元素是否有不可约完全并既分解的 格进行了讨论，GierzG．[14]与SternM．1【5]还分别对连续格与上半模格进行了深入的探讨，近年 来王学平教授等在完备格上关于连续并既约元、不可约连续并既分解或不可约极小并分解等方 面也做了大量工作(参见[16—22])，但迄今为止，对Dilworth与Crawley1973年提出的能否去掉上半 模格条件来刻画元素的不可约完全交既分解的问题以及能否去掉强原子格的条件刻画紧生成格 收稿 日期：2014—02—12 修 回日期：2014—05—16 基金项目：国家自然科学基金 484 高 校 应 用 数 学 学 报 第29卷第4期 的结构的问题始终没有作出解答(参见[7，P．48与P．56])本文肯定地回答TDilworth与Crawleyf~ 述第一个问题，部分回答了他们的第二个问题． 以下假设读者已知格中一些基本概念与符号(可参见[5]与[7】)，以下用0和1分别表示 的最 小元和最大元．对任意n，b∈ ，OJVb=sup{a，6)，0八b= n，{0，6)，。l【6表示0≯bH．a b． 设A，B是两个集合，A—B表示 由属于 但不属于B的元素构成的集合，AuB表示集合 与集 合B的并，p()表示由集合A的所有子集构成的集合．特别地，当B= )时，则记 —B=A—b， 用1Al表示集合A中元素的个数． 定义1．12[31设P为偏序集，n，b∈P，nb，如果不存在z∈P使得0 6成立，则 称6是0的下邻或者0是b的上邻，又称0覆盖b或者b被0覆盖．记作b 0或者0 b．如果P中有最小 元，则称最小元的上邻为P中的原子．对偶地，如果尸中有最大元，则称最大元的下邻为P中的对 偶原子． 定义1．2[7]设 是有最小元0的格，若Va∈ ，00，子格a／o=f ∈ ：0≥ ≥0中存 在原