某些家族p^6阶群自同构群阶.pdf

维普资讯 第 37卷第 2期 数 学 进 展 V01．37 NO．2 2008年 4月 ADVANCESIN MATHEM ATICS April，2008 某些家族 6阶群的自同构群的阶 苏翊 ，赵振华，邱敦元 (重庆工学院数理学院，重庆，400050) 摘要： 本文确定 了P。阶群的 7， 8， 9，30四个家族的所有群的 自同构群的阶，这里p是 奇素数． 关键词：P群；自同构群；亚交换群；定义关系；阶 MR(2000)主题分类：20D15／中图分类号：O151．21 文献标识码：A 文章编号：1000—0917(2008)02—0237-08 在对有限群的研究中， 群是一个十分重要，也是研究得 比较活跃的分支．1980年，Rod— neyJames[】对阶不超过p0阶的P群进行了完全分类．但是他没有继续它们的自同构群的阶的 工作．很久 以来，对于 自同构群的阶的研究，一直是一个令人关注的课题，交换P一群的自同构 群的阶的计算早 已经解决，p3，P，P 阶群的自同构群的阶已经 由班桂宁，俞曙霞等确定，p0 阶群的自同构群的阶的确定工作正在进行中，部分结果可参见文f2—51．本文给出了P0阶群 的 27，28，29，30四个家族的所有群的自同构群的阶。 1主要引理 引理1[。]称群G为亚交换群，如果G =1，或者等价地，G是交换群．设G 是亚交换 群，a，b∈G，又设m，n为正整数，则有 (1)[n ，b”]=兀 1兀 1[ia，]()(； (2)(ab一) =n 兀i+≤ n，J6]()()6一 ． 引理2 设G是亚交换 群，G=(，12，3，4，l[，]= 计1，[1， =[1，2]= 4，§= = 1(i=1，2，3))，则有 (1)[ ，n]= nm3}) ；’一n ； (2)[ ， ]： ； (3)[ ， ]：[ ，爹]=[ ， 】： ； (4)[ ，n n2n1。】= n m4。‘一mn。； (5)[ ，”Q n1。]= ”； (6) m mz s，n n ?。]= 。n。一mn。m3。‘一n。‘ ， 其中S=m2(；。)～n3()+m～n。)～n2(。)+m3n1一m1n3+m2m3~3一m3n2n3． 收稿 日期：2007-03—09． 基金项 目：重庆市教委科学研究项 目(NoKJ050611) E—mail： souh1963@163．corn 维普资讯 238 数 学 进 展 37卷 证明 (1)G是亚交换群，故由引理1 ， ]=nzi1njn1[ic~l，J]()()．由于 [1，2]= [1，OL，]=[[1，]，]=[2，]= 3， [1，3]= [1，OL，，]：[[1，，]，]=[3，]： 4 ^ [1，4]=[1，OL，，，]=[OL4，]=1， [21，]：[1，，1]=[2，1]= ， [21，2]=[1，，1，]：[ ，]=1， 2]()(；[1，3]()(；)[21，]()(?)： n ； ；)一 故[ ， “]=[1，]()(?)[Oq，