数学竞赛中几何问题.pdf

第 18 卷第 2 期 内江师范学院学报 NO 2 V o l18 　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　　 　 　 　 　 (2003) JOU RNAL O F N E IJ IAN G T EA CH ERS COLL EGE (2003) 数学竞赛中的几何问题 赵小云 　叶立军 (杭州师范学院 数学系, 浙江 杭州　310036) 　　摘　要: 几何在数学竞赛中有着十分重要的地位。在奥林匹克数学竞赛中往往会涉及到几何中的许多基 本内容、基本思想以及重要的定理。通过对例题的分析, 了解解决几何问题的基本思路、基本方法, 从而提 高解决几何问题的能力。 关键词: 几何; 几何变换; 几何问题 中图分类号: O 12　文献标码: A 　文章编号: 1671- 1785 (2003) 02- 0090- 06 　　几何是一门研究空间图形及其位置关系的学科。它以其严谨的逻辑体系, 直观的几何图形, 精 巧的思维方法, 优美的数学形式以及灵活多样的问题, 在奥林匹克数学中占有十分重要的地位。事 实上, 在国内外数学奥林匹克中, 几何问题是出现最多的题型之一。比如, 在已举行的 41 届 IM O 中, 其中几何问题累计达 78 道以上, 这些问题综合性强, 内容丰富多彩, 正如波兰著名数学教育 家克里哥夫斯卡 (A k rggow ska) 所说: “现在对于研究工作来说显得枯竭了矿藏的初等综合几何, 无论如何对教育或教学研究来说, 并不是枯竭了的矿藏。” 1　基本内容 奥林匹克数学中的几何问题, 包括平面几何与立体几何, 以平面几何为主体, 从内容上看主要 可以分为两类: ( 1) 常规的平面几何问题。包括证明题、计算题、轨迹题、作图题等, 着重在共线点、共圆点、 共点线、轨迹、几何变换、几何不等式、几何极值和充要条件等方面, 强调运动变化的观点。 (2) 组合几何问题: 所谓组合几何, 就是几何与组合数学的综合和交叉。这是近几年来数学奥 林匹克中热门而极具挑战性的新颖题型。这类问题离不开几何知识的运用以及几何结构的分析, 但 更重要的是在于精巧的构思。 2　有关的重要定理 2 1　几类重要变换 对称变换　将一个图形 变到它关于直线 的轴对称图形 ’, 称为关于直线 的对称变换。直 F l F l 线 称为其对称轴。 l 旋转变换　将图形 绕定点 旋转一个定角 得到图形 ’, 称之为旋转变换。定角 称为旋 F O F 转角, 定点O 称为旋转中心。 特别地, 当 = 180 °时, 就是中心对称变换。 当问题中涉及线段相等且有定角或等角时, 我们往往可利用旋转变换。 平移变换　将图形 沿固定方向移到图形 ’, 称为平移变换。 F F 对于平移交换, 显然有对应线段平行且相等, 因此, 当问题中涉及平行线段或等线段时, 常常 可以利用平移来解决问题。 　收稿日期: 2002—12—02 　作者简介: