2007年高中数学联赛（江苏）复赛试题2的再研究.pdfVIP

· 42 · 中学数学月刊 2011年第9期 2 00 7年高中数学联赛(江苏)复赛试题2的再研究 胡云浩 (安徽省砀山中学 235300) 题目 已知正整数 1，求证： 下证法： 证明 令f(x)一In(1 + +．．．+ ． ① + )～ ( 0)，则 (2007年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第 二试第2题) z)一 一 一 标准答案是用数学归纳法证明式 ① 的加强 不等式 l_+ 1 +…+ 1丽25一 o， ②． 故f(x)，(o)一0，即In(1+ ) 1 十 ． 文[1]探讨了加强不等式②的来源，很好地 令z一南 ，则有 处理了一些数列和不等式，但过程较繁．那么还有 没有别的方法呢?我们设想如果将① 式左边每 ln(1+ )一ln( +忌)一ln( +志一1)．所 一 项放大后能采用“裂项求和”的方法就好了! 以 + + ．．．+ l n(，2 一ln卅 如何探求这个“裂项目标”呢?经研究发现：在求 曲边梯形的面积(定积分的几何意义)过程中，重 1n( +2)一ln(”+1)+…+ln2n—ln(2n一1)一 要的一步分割求和，能为我们寻找“裂项目标”提 1n2 一ln”===ln 2丽25(1n 2≈o ． 693 147 18， ≈ 供帮助． 0．694 444 44)，因此原不等式成立． 分析 由图1易知S矩形 ∞一l AB 1．1 BC l=== 因为ln(z+1)是 的原函数，由上述’吐 ÷ ( ≥k≥1)， Sfa~ cM一 一ln(x 明过程我们可得到启发：证明∑厂(是)g(”) 一IJ 十1 一 +1)+1)l算l二 一 一 trek--2 时，若-厂(z)是[1，+。3)上恒正且连续的递减函 In(”+走)一In( +忌一1)，故可将 的“裂项目 数，设 f(x)的原函数为F( )，可将 f(忌)的放大 标”定为 In(n+走)一ln( +k～1)③，然 目标定为F( ) ；同理证明∑-厂(志)g( ) 后再累加求和．能否给出不等式③严格的证明 时，若厂(z)是[1，+CXD)上恒正且连续的递减函 呢? 事 实 上 ③ 式 可 化 为 数，设-厂( )的原函数为F(z)，可将／、( )的缩小 目标定为F(x) ，这种处理方法我们不妨称为 In( + )，若令 一z，则有 “原函数法”．若-厂( )是[1，+C×3)上恒正且连续 的递增函数问题可类似处