向量与三角形内心、外心、重心、垂心.doc

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 1．（1）是的重心. 证法1：设 是的重心. 证法2：如图 三点共线，且分为2：1 是的重心 (2)若O是的重心，则故; (3)为的重心. 2. 为的垂心. 证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足. , 同理， 为的垂心 3.设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心 (1)为的内心. 证明：分别为方向上的单位向量，平分, )，令 （) 化简得, (2) O是内心的充要条件是 4.为的外心。 典型例题： 例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示，分别为边的中点. //点的轨迹一定通过的重心，即选. 例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ B ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：分别为方向上的单位向量，平分, 点的轨迹一定通过的内心，即选. 例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过（） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足. = ==+=0 点的轨迹一定通过的垂心，即选. 练习： 1．已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ） A．2 B． C．3 D．6 2．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则( ) A． B．0 C．1 D． 3．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ） A．0 B． C． D． 4．的外接圆的圆心为O，若，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若 ，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，， 则实数m = 7．（06陕西）已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( ) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 8．已知三个顶点，若，则为（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C