平面向量四心问题(必威体育精装版最全).doc

平面向量和三角形的“四心”问题例P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（? 　）. 已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的，则O必为△ABC的（ ） （4）已知O为△ABC所在平面内一点，且满足 ，则点O是△ABC的（ ） （5）点在内一点，使取得最小值时，点P为△ABC的（ ） A．外心　??? B．内心　?? C．重心　???D．垂心 动点P满足P的轨迹一定通过△ABC的（??）动点P满足：，； （3）动点P满足，； （4）动点P满足. （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 例3、已知O为的外心，求证： 分析　构造坐标系证明．如图３，以为坐标原点，在轴的正半轴，在轴的上方．，直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且，因此有，得 ． 直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且，因此有，得． 于是，容易验证，，又， ，，又，则所证成立． 例4、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m = 　． 分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有，将已知代入，有，即，由是外心，得，由于是任意三角形，则不恒为０，故只有恒成立． 或者，过点作与，则是的中点，有；是垂心，则，故与共线，设，则，又，故可得，有，得． 根据已知式子中的部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为，是平面内任一点，均有，由题意，题目显然叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图１，由图上观察，很容易猜想到，至少有两个产生猜想的诱因，其一是，均与三角形的边垂直，则；其二，点是三角形的中线的三等分点．此时，会先猜想，但现在缺少一个关键的条件，即，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似．当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明． 本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O、G、H分别是△ABC的外心、重心和垂心，O、G、H三点共线，且OG∶GH＝1∶2． 例5、已知向量满足条件，，求证：是正三角形． 分析　对于本题中的条件，容易想到，点是的外心，而另一个条件表明，点是的重心． 故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的． 显然，本题中的条件可改为．