第四章特殊变换及其矩阵.ppt

证明： 按施密特正交化过程可知，存在另一个单位正交列矩阵 ，使得 满足 ，则 这里 证明： 按施密特正交化过程可知，存在另一个单位正交列矩阵 ，使得 满足 ，则 因此对任意 ，有 显然 如果仅仅知道列满秩矩阵 ，显然 的各列构成 维子空间 的一组基，那么根据QR分解可知，存在单位正交列矩阵 和上三角矩阵 ，使得 因此 定理 6 (正交投影变换的矩阵表示II) 酉空间或欧氏空间 中的子空间 由列满秩矩阵 的列向量张成，即 则 沿 到 的正交投影变换可表示为 例 7 (斜投影变换) 酉空间或欧氏空间 中的任意向量 有直和分解 则沿 到 的斜投影变换 是幂等变换( )。 定义8 设 是酉空间（或欧氏空间） 上的线性变换，称 为 上的 反Hermite 变换（或反对称变换），如果对任意 ， 都有 并称 在 的任意一组标准正交基下的矩阵表示为反Hermite 矩阵（反对称矩阵）。 定理 9 酉空间（或欧氏空间） 上的线性变换 是 反Hermite 变换（或反对称变换）的充要条件是 在 的任意一组标准正交基下的矩阵 满足 例 10 (Cayley变换) 方阵 是实反对称矩阵，那么 是非奇异的，并且Cayley变换矩阵 是正交矩阵。 证明： 因为 ，所以对任意的 ， 有 因此 。对于 由于 ，从而方程组只有零解，所以 是非奇异的。 由于 所以 从而可推出 例 11 (广义特征值问题的Cayley变换) 对于广义特征值问题 ，如果 是所谓极点（pole), 是我们已经计算出的特征值的近似值,即所谓零点（zero），那么经过Cayley变换 可得到标准特征值问题 并且 二、 Hermite矩阵及对称矩阵的性质 定理12 正规矩阵 是 Hermite矩阵(反Hermite矩阵)的充要条件是 的特征值全是实数(纯虚数)，即 酉相似于实对角矩阵(对角元是纯虚数的对角矩阵)。 证明： 充分性。 因为 是正规矩阵，所以存在酉矩阵 及对角阵 ，使得 由于 的特征值全是实数，所以 证明： 必要性。 因为 是正规矩阵，所以存在酉矩阵 及对角阵 ，得到特征值分解 因为 ，从而 因此 ，即 的对角元全是实数。 所以 的主对角元是 的特征值。 定理13 正规矩阵 是实对称矩阵(反对称矩阵)的充要条件是 的特征值全是实数(纯虚数) ，即 正交相似于实对角矩阵(对角元是纯虚数的对角矩阵)。 定理14 Hermite矩阵（实对称矩阵）的相异特征值所对应的特征向量是互相正交的。 三、 Hermite二次型 定义15 Hermite二次型或复二次型指的是复系数二次齐次复多项式 其对应的矩阵 显然是Hermite 矩阵。 定理16 对于Hermite二次型 存在酉变换 ，将二次型化为标准型 其中 是 的特征值。 定理17 （惯性定理）对于Hermite二次型 存在可逆的线性变换 ，将二次型化成规范型 其中 是