第四章线性方程组迭代解法.ppt

方程组的性态讨论续（3） 而当A,b同时有微小扰动?A，?b时，则可进一步导出更一般的误差估计式： 注意到： 在?b充分小时， 此式右端实际上即为： 方程组的性态讨论续（4） 矩阵的条件数 在三种情况下得到的这三个不等式反映了解的相对误 差与A及b的相对误差的关系；数||A||||A-1||越小，解的相对 误差也越小；反之数||A||||A-1||越大，解的相对误差也越大，实际上这个数反映了解对方程组原始数据的敏感程度，揭示了矩阵A和方程组本身的性态，称之为方程组或矩阵A的条件数，记作： cond(A)越大，A的病态程度越严重。至于cond(A)多大才 算病态，这是一个相对概念，没有一个严格的数量界限。 判断病态矩阵的几点参考 求条件数要计算逆阵的范数，很不方便，如下一些现象可作为判断病态矩阵的参考。 （1）在用主元消去法时消元过程出现小主元（如例12） （2）矩阵A中元素间数量级相差很大； （3）A的行列式det(A)满足（行列式值相对很大） ： （4）矩阵的某些行（或列）近似相关（如例11）。 利用条件数判断矩阵的性态举例 A的条件数很大，所以方程组是病态的。 的特例，它是典型的“病态”阵，n越大，“病态”越严重， 如n=6时，cond(A)=29×106，对严重“病态”的方程组，即 使用主元素法求解也难以保证数值稳定性。 §3 雅可比（Jacobi）迭代法 设有n阶线性方程组： 简记为： 其系数矩阵A非奇异，不妨设aii≠ 0 (1,2,…,n)可将上式 改写为等价方程组： 雅可比（Jacobi）迭代法（续） 也可写作为： 可简记为： 由此可建立迭代格式： Jacobi迭代法定义 选取初始向量x(0)代入（4-4）右端，可得x(1) = Bx(0) + g， 再将x (1)代入（3-4）右端，可得x(2) = Bx(1) + g，如此继续下去， 就产生一个向量序列{x(k)}，按（3-2）或（3-3）格式迭代求解 的方法称为雅可比（Jacobi）迭代法，又叫简单迭代法。 迭代式（3-4）中的B 称为迭代矩阵，它可直接由（3-2） 或（3-3）得到，也可用系数矩阵A来表示： 若将系数矩阵A分解为A = D–L–U，其中： Jacobi迭代法定义（续） 式（3-5）为简单迭代法的矩阵形式。 Jacobi迭代法举例 用Jacobi迭代法求解线性方程组： 例1 解：由第一个方程解x1，第二个方程解x2，第三 个方程解x3得Joacbi迭代格式为： 继续迭代下去，迭代结果见表3-1： 取x(0) = (0,0,0)T代入迭代式 （3-6）或（3-7）得： Jacobi迭代法举例 0 0.0000 0.0000 0.0000 1 7.2000 8.3000 8.4000 2 9.7100 10.7000 11.5000 3 10.5700 11.5700 12.4820 4 10.8535 11.8534 12.8282 5 10.9510 11.9510 12.9414 6 10.9834 11.9834 12.9504 7 10.9944 11.9981 12.9934 8 10.9981 11.9941 12.9978 9 10.9994 11.9994 12.9992 表3-1 k x1(k) x2(k) x3(k) 迭代9次，得近似解x(9) = (10.9994,11.9994,12,9992)T，此方 程组的准确解为x =(11,12,13)T，从表3-1可以看出，随着迭 代次数的增加，迭代结果越来越接近精确解。 收敛条件 迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径1。对于Jacobi迭代，我们有一些保证收敛 的充分条件 定理：若A满足下列条件之一，则Jacobi迭代收敛。 ① A为行对角占优阵 ② A为列对角占优阵 证明： ＃证毕 例4 讨论Jacobi迭代法的收敛性。 解：首先要求出迭代矩阵， 对Jacobi迭代法： §3 高斯塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 Jacobi迭代法的优点是公式简单，迭代矩阵容易得到， 它又称为同时替换法：在每一步迭代计算过程中，计算 x(k+1)时是用x(k)的全部分量代入求x (k+1)的全部分量。因此 需同时保留两个近似解向量x(k)和x(k+1)。 Gauss-Seidel迭代法求解 例2 用Gauss-S