01第一讲解析几何预习.docVIP

请先认真阅读完下面的文章（周帅老师亲笔） “解析几何计算题考什么？” A．．．． 一直以来我们对于解析几何计算题的感觉是A，计算重要且麻烦；但是学了一段时间之后会觉得是B，因为很多题目参考答案写得还是挺容易的；真正做题的时候会默默感到C的存在，只要能再多坚持一会儿就算出来了；到了考场就会觉得D很重要，如果是做过的类型就还好，如果是新题型就抓瞎了。 不仅如此，很多时候更让人蛋疼的事情是，当你不太会做而求助参考答案时，下面的场景将不时出现：当你需要一些推导过程或方法时，答案写着两个字“显然”！！当你需要一些计算过程是，答案写着三个字“化简得”！！！当你正在想这一步怎么这么难的时候，答案写着四个字“不难得出”…… 那么，在解析几何计算题中，究竟有没有一些方法是我们可以一直使用的，有没有一些计算是我们可以简化的，有没有一些底线是我们可以一直坚守的？如果有，是什么，怎么做？接下来我们通过对于一些高考题及其解决方案的分析研究来给大家做一些指引，请仔细阅读和体会解题过程中画框和分析的部分。 这是2012年北京市高考文科数学试题的第19题，解析几何计算题 已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交不同的两点，． （）求椭圆的方程； （）当的面积为时，求的值．  本题在市面上能够见到的一个主要版本的参考答案如下，请参照自己刚才的计算过程迅速浏览一遍。 解：（）解得 所以椭圆的方程为：． （），得． ，的坐标分别为，，则 ，，，． ． 到直线的距离． 的面积为． ，解得．  你要先学会自己和自己玩儿，才能更好的通过题目与出题人交流。 Q：“这道题目的背景是什么？” A：“直线和椭圆相交． Q：“相交之后形成了什么几何图形？” A：“三角形AMN． Q：“题目中有哪些变量？” A：“直线的斜率k． Q：“需要用这个变量k来表示什么？” A：“三角形AMN的面积。” Q：“三角形的面积等于什么？” A：“二分之一底乘以高。” Q：“这个题目中谁作底，谁作高更合适？” A：“应该是MN作底，A点到直线MN的距离作高。” Q：“为什么？” A：“因为MN是直线和椭圆相交的弦长，而A点到直线的距离可以直接用公式。” Q：“学得不错。那弦长怎么求呢？” A：“M，N是直线和椭圆的交点，可以联立求坐标，然后再用两点间距离公式。” Q：“如果联立之后求坐标需要用求根公式比较复杂，那怎么办呢？” A：“可以考虑使用韦达定理进行替代性表示。” Q：“但联立之后一般是消去了一个字母的，只有一个x或者y怎么写距离公式呢？” A：“x和y可以通过直线方程来转化。” Q：“好了，你已经找到了中间过程；那么题目最后要求什么呢？” A：“求直线的斜率k． Q：“怎么求一个未知数呢？” A：“根据这个未知数列一个方程，然后解方程。” Q：“题目中哪个条件是用来列方程的呢？” A：“面积等于，用k表示面积即可。” Q：“好，看看我们是不是从起点走到终点又回到了起点，你已经制定出了解决方案。”  以上模拟思维的对话发生在一个善于引导的老师和一个基本功扎实的学生之间，它向我们展示了制定这个题目解决方案的过程，同时也展现了这个题目的出题逻辑和诸多数学要素之间的联系。其中主要的两个部分，一个是几何要素和代数表示的转化关系，如点对应坐标，线对应方程，距离对应公式；另一个主要是代数计算过程，如方程的联立，二次方程求根的相关计算，多项式化简等。在这里，代数表示几何主要是基本思路和基础知识的问题，而代数相关计算则是计算能力和方法问题，我们来重点研究一下。 让我们一起回看到前面参考答案部分我画的第一个框，直线和椭圆联立方程的得出。 由，得． 方法1：在我们算了这么多题目之后，已经有足够的经验使得我们可以不必每道题都一步一步算了，因为这种联立的计算结果在每个题目中是完全一致的，一条一般的直线和一个普通的椭圆联立，而结果总是． 方法2：如果真从计算的角度来看，这步过程可能复杂一点的原因其实出在是需要平方的，而平方之后就会在每一项中都出现，从而导致之后的计算过程的次数升高，尤其是在使用判别式和韦达定理以及进行通分计算的时候。难道过点的直线就必须写成的样子么？我们完全也可以将同一条直线表示成，其中，依然过点，并且在联立平方的时候——请比较一下和平方的不同感觉。于是联立的那一步也可以是这样的，得，比较一下，感觉是不一样的。 于是，为了方便计算起见，以后题目中出现的过定点的直线：如果是过轴上的定点，自然应该设成；而如果是过轴上的定点，就应该考虑设成． 让我们再一起回看到前面参考答案部分我画的第二个框，距离的计算。 ． 其实在求直线上两点间距离或者直线和椭圆相交的弦长时，一直以来我们都知道这样一个“弦长公式”：，或者如果我们是消去的，得到的关于的方程（请参看前文关于直线方程的部分），“