简谐激励下强迫振动的响应特性.ppt

振幅达到最大值时的频率 受迫振动峰值并不出现在阻尼系统的固有频率处，峰值频率略向左偏移， 对于小阻尼 ζ (i.e., for light damping). 相位特性和振幅一样， 振幅达到最大值时的频率 相位差 自由振动 受迫振动 应该注意，这里的相位差是表示响应滞后于激励的相位角，不应与自由振动的初相位相混淆 两者主要区别： 初相位取决于初始位移与初始速度的相对大小； 相位差反映响应相对于激励力的滞后效应，是由系统本身具有阻尼引起的。 相位差特性 相频曲线 总响应 系统总响应为： 式中 为阻尼系统的瞬态响应，与自由振动的表达式相同。 因此欠阻尼系统的总响应为： 其中瞬态响应的幅值 和相位 可通过将初始条件代入上 式予以确定，即联立求解以下方程获得： 问题描述 （1）当外激励 F(t)=10sin(10t)(N), 求系统的稳态响应x2(t)=? （2）当 F(t)=10sin(10t)(N),而所有的初值条件为零，即 x(0)=dx(0)/dt=0,求瞬态解及总响应 x(t)? 当 t = 1 s, 2 s, 3 s时，瞬态响应x1(t) 的幅值及稳态响应 x2(t)的幅值 如右图所示的单自由度系统: m=5kg, c=20 Ns/m, and k=2000 N/m. 例 （2） 建立广义坐标。取质量元件沿铅垂方向的位移作为广义坐标x。原点在系统的静平衡位置，向下为正。 建模 作受力分析图 例 （2） 代入 m=5kg, c=20Ns/m, and k=2000N/m. F(t)=10sin(10t) ， 求频率及放大系数 例 （2） 例 （2） 求稳态响应的幅值及相角 问题 2，求瞬态响应 例 （2） 问题 2，总响应的最终形式 例 （2） 注意：即使初始条件均为零，瞬态解仍然不为零！ Amplitude of x2(t) =6.61mm t=1s, Amplitude of x1 = 0.45mm t=2s, Amplitude of x1 = 0.061mm t=3s, Amplitude of x1 = 8×10-3mm 问题3 例 （2） 衰减 有、无阻尼系统对比 无阻尼 有阻尼 无阻尼系统的 幅频响应曲线 一般激励下的响应特性 冲量作用下的单自由度系统响应 考虑具有粘性阻尼的弹簧 - 质量系统在 t = 0 时受到一个单位冲量作用: 对冲量的响应 对于欠阻尼系统，其运动方程为 则系统的瞬态响应为 其中 对冲量的响应 如果质量块在冲量作用之前静止，即 则系统的初始条件变为 系统的响应为 我们有: 称为 单位脉冲响应函数 对冲量的响应 如果冲量的大小是 而不是1，那么初始速度 变为 此时系统的响应成为 冲量及响应如右图所示。 如果冲量 是作用在任意时刻 处， 则该时刻速度变化为 。假设冲量 作用前 ，则系统响应为 脉冲发生的时刻 对任意外力的作用，可将任意力看成是一系列大小变化的冲量组成的。 对一般力的响应 假设在 时刻，力 在很短的时间 作用在系统上，则在这一时刻的冲量就是 ，对于任意时刻 ，冲量发生的时间为 ，则该冲量在 时刻引起的系统的响应为: 则系统在 t 时刻的总响应等于之前所有时刻的微冲量引起的 响应的叠加： 对一般力的响应 将单位脉冲响应函数的表达式代入，得 式中的积分称作 杜哈梅积分 或 卷积 令 ，并用积分代替求和，可得 上面两式即为单自由度欠阻尼系统对任意激励 的响应。 例子 例子 有阻尼系统，套用杜哈梅积分公式 无阻尼系统有 例子 小 结 强迫振动与自由振动的区别 强迫振动解的一般形式：稳态解+瞬态解 稳态解在不同无量纲频段的表现形式 有阻尼时的表现形式 无阻尼时的拍振现象（激励频率接近固有频率） 共振现象 一般激励下响应的求取 作业 (page 42,43) 2-7, 2-10, 2-14 * 简谐激励下强迫振动的响应特性 强迫振动的几种形式 强迫振动的运动方程 取不同形式时，振动特点不同 其中简谐激励为最简单的激励形式 单自由度运动微分方程的一般形式 其中, 为相应齐次方程的解 瞬态响应 为方程的特解 稳态响应 运动微分方程的解 简谐激励下的响应 （有阻尼系统中该项解将逐渐消失）