算法分析与设计-2016第10讲.ppt

算法分析与设计 第10讲-2016 山东大学计算机学院/软件学院 上次内容： (1)先行约束排工，限制很强时是多项式可解的， 没有限制是NP-Complete。NPC和多项式可解有分界线吗？ 找了一个问题来说明，分界线无为有时有为无。 (2)着色问题，限制顶点度不超过4的图3着色问题是NPC， 限制平面图的3着色问题是NPC。 说明有些问题的子问题仍然为NPC，有意思，有意义。 (3)划分问题的拟多项式算法。划分问题拟多项式时间算法。 nlog2B 需要重新认识时间复杂度。 例如：B = 2n*n*n Length(I)=n4 O(nB)=O(n2n*n*n) (1)一个问题实例的编码不是完全相同的， 因此输入长度和最大数值会跟据编码不同有所不同。 不同人编不同的程序。 (2)有的问题根本不含有数值参量，这样MAX(I)=0。 定义6.1：拟多项式算法：判定问题?，存在解答算法A， 算法A的时间复杂度为：T=P(Length(I), Max(I))，I为?的任意实例， 则称算法A为求解问题?的拟多项式算法。 看问题：问题怎样在计算机存储?首先明确输入长度为n， 则最大数值可能是2p(n)。 在考虑算法时间复杂度时，往往忽略怎样编码的，其实编码也有学问。 问题：另外的NPC问题是否也有这么好的算法？ (1)SAT，该问题中根本没有MAX(I)这一项。 没有最大数值，Max(I)=0 (2)TSP，该问题中边长，或界值K是最大数值Max(I)项。 Max(I)=K (3)划分问题，元素价值或B是Max(I)项。O(nB) (4)团问题，最大数值，J?|V|。自然受到限制。 考虑(1)，Max(I)=0，这个问题是NPC的， 可以认为，最大数值本身受到输入长度的限制。(4)也这样。 Max(I)?P(Length(I))，P(?)是多项式函数。 考虑问题(2)(3)，TSP问题中， 边长根本不受输入长度的约束，每条边长可能很大， 问题(3)的元素价值也不受到输入长度约束。 怎样区分(1)(4)/(2)(3) 什么叫不受约束：如果长度为x，则数值大小为2p(x)。 受约束的含义：存在多项式函数P(?)，使Max(I)?P(Length(I))。 最大数值不会增大到超过输入长度的某个多项式函数的程度。 将Max(I)不受Length(I)约束的问题单独分为一类，给个命名。 定义6.2：对于判定问题?，若不存在多项式函数P(?)， 使对问题?的所有实例I有：Max(I)?P(Length(I))， 则称?为数问题。 最大数值不受约束。 就是最大数值可能很大的问题是数问题。不受输入长度约束。 SAT和团问题不是数问题， 划分问题和货郎问题是数问题。 证明：设?不是数问题，反证：若存在拟多项式算法A， 解答问题实例I的时间复杂度为： T(I)= q(Length(I), Max(I))?q(Length(I), p(Length(I))) =q1(Length(I))。 其实算法A是多项式时间算法。 即：若存在解答?的拟多项式算法， 则该算法是多项式算法(解答?)。 则P=NP，矛盾。 问题?，多项式函数P(?)， D(?)表示该问题的所有实例组成的集合。 对于多项式函数P(?)，定义一个新的实例集合： D(?P) = {I|I?D(?) ，Max(I)?P(Length(I))}， 由D(?P)中实例表达的问题就是多项式可解的吗。 B?P(n) 命题6.1：若NPC类判定问题不是数问题，P?NP， 则该问题不能被拟多项式算法解答。 解释什么问题不是数问题。数值不会很大的问题。 Max(I))?q(Length(I)。不存在这样的q(?)。 每个D(?P)的实例都是D(?)的实例。所以?P是?的子问题。 注意多项式函数给定。 例如划分问题中，每个元素长度S(a)?n2，n是元素个数。 P(n)=n3，则?P是多项式可解的。 再次强调问题是实例的集合！ 定义6.3：判定问题?，存在多项式函数P， 使?P是NPC的，则称?是强NPC的。 (1)非数NPC问题一定是强NPC问题， 对于非数问题，NPC与强NPC是等价的。 (2)主要讨论数问题是否为强NPC问题 ?P中的每个实例I，都满足：Max(I)?P(Length(I)) 命题6.2：若问题?是强NPC的，P?NP， 则?一定不能被拟多项式算法解答。 证明：若?有拟多项式算法A， 则证明A是解答?p的多项式算法。 TA(I)=q(Max(I),Length(I)) 因存在P(?)，?P是NPC的。 那算法A解答?P的实例I1，Max(I1)?P(Length(I1) TA(I1)=q(Max(I1),L