07相关和回归分析.ppt

统计学 ─从数据到结论 第七章 相关和回归分析 §7.1 问题的提出 对于现实世界，不仅要知其然，而且要知其所以然。顾客对商品和服务的反映对于企业是至关重要的， 但是仅仅有满意顾客的比例是不够的；商家希望了解什么是影响顾客观点的因素，及这些因素如何起作用。 类似地，医疗卫生部门不能仅仅知道某流行病的发病率，而且想知道什么变量影响发病率，以及如何影响。 §7.1 问题的提出 发现变量之间的统计关系，并且用此规律来帮助我们进行决策才是统计实践的最终目的。 一般来说，统计可以根据目前所拥有的信息（数据）来建立人们所关心的变量和其他有关变量的关系。这种关系一般称为模型（model）。 §7.1 问题的提出 假如用Y表示感兴趣的变量，用X表示其他可能与Y有关的变量（X也可能是若干变量组成的向量）。则所需要的是建立一个函数关系Y=f(X)。 这里Y称为因变量或响应变量(dependent variable, response variable)，而X称为自变量，也称为解释变量或协变量(independent variable, explanatory variable, covariate)。建立这种关系的过程就叫做回归(regression)。 §7.1 问题的提出 一旦建立了回归模型，除了对变量的关系有了进一步的定量理解之外，还可以利用该模型（函数）通过自变量对因变量做预测（prediction）。 这里所说的预测，是用已知的自变量的值通过模型对未知的因变量值进行估计；它并不一定涉及时间先后。 先看几个后面还要讨论的数值例子。 §7.1 问题的提出 例7.1 有50个从初中升到高中的学生。为了比较初三的成绩是否和高中的成绩相关，得到了他们在初三和高一的各科平均成绩(数据在highschool.txt)。这两个成绩的散点图展示在图7.1中。 §7.1 问题的提出 目前的问题是怎么判断这两个变量是否相关、如何相关及如何度量相关？ 能否以初三成绩为自变量，高一成绩为因变量来建立一个回归模型以描述这样的关系，或用于预测。 §7.1 问题的提出 该数据中，除了初三和高一的成绩之外，还有一个定性变量（没有出现在上面的散点图中）。它是学生在高一时的家庭收入状况；它有三个水平：低、中、高，分别在数据中用1、2、3表示。 §7.1 问题的提出 到底学生在高一的家庭收入对成绩有影响吗？是什么样的影响？ 是否可以取初三成绩（这是定量变量）或（和）家庭收入（定性变量）为自变量，而取高一成绩为因变量，来建立一个描述这些变量之间关系的回归模型呢？ §7.1 问题的提出 例7.2 这是200个不同年龄和性别的人对某项服务产品的认可的数据（logi.txt）。这里年龄是连续变量，性别是有男和女（分别用1和0表示）两个水平的定性变量，而变量观点则为包含认可（用1表示）和不认可（用0表示）两个水平的定性变量（见下页数据）。 想要知道的是年龄和性别对观点有没有影响，有什么样的影响，以及能否用统计模型表示出这个关系。 §7.2 定量变量的相关 如果两个定量变量没有关系，就谈不上建立模型或进行回归。但怎样才能发现两个变量有没有关系呢？ 最简单的直观办法就是画出它们的散点图。下面是四组数据的散点图；每一组数据表示了两个变量x和y的样本。 §7.2 定量变量的相关 但如何在数量上描述相关呢？下面引进几种对相关程度的度量。 Pearson相关系数（Pearson’s correlation coefficient）又叫相关系数或线性相关系数。它一般用字母r表示。它是由两个变量的样本取值得到，这是一个描述线性相关强度的量，取值于-1和1之间。当两个变量有很强的线性相关时，相关系数接近于1（正相关）或-1（负相关），而当两个变量不那么线性相关时，相关系数就接近0。 §7.2 定量变量的相关 Kendall t 相关系数（Kendall’s t）这里的度量原理是把所有的样本点配对（如果每一个点由x和y组成的坐标(x,y)代表，一对点就是诸如(x1,y1)和(x2,y2)的点对），然后看每一对中的x和y的观测值是否同时增加（或减少）。比如由点对(x1,y1)和(x2,y2)，可以算出乘积(x2-x1)(y2-y1)是否大于0；如果大于0，则说明x和y同时增长或同时下降，称这两点协同（concordant）；否则就是不协同。如果样本中协同的点数目多，两个变量就更加相关一些；如果样本中不协同（discordant）的点数目多，两个变量就不很相关。 §7.2 定量变量的相关 Spearman 秩相关系数（Spearman rank correlation coefficient 或Spearman’s r）它和Pearson相关系数定义有些类似，只不过在定义中把点的坐标换成各自样本的秩（即样本点