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河南财经学院 信息学院 廖扬 第四节：行列式按行(列)展开 * * * * 2、二阶、三阶行列式的计算方法（对角线法） n阶行列式的计算方法（定义法） 特殊的n阶行列式：三角形行列式 3、n阶行列式的性质 利用性质计算行列式（化三角形法） 4、行列式的按行（列）展开 利用行列式性质及展开规则计算行列式（降阶法） 5、利用行列式求解方程组的方法——cramer法则 本章内容 1、排列、逆序、奇偶性、对换 范德蒙行列式 1 余子式、代数余子式的定义（P33，定义1.7） 2. 某元素的余子式和代数余子式只与该元素的位置有关, 与其取值无关。 注：1. 代数余子式是加了符号的余子式。 一 、按行（列）展开公式 【P33，例1】 2 按行（列）展开法的定义（P34，定理1.4） 【P38，例4 ，（解法一、二） 】 2 抽象（高阶）行列式的计算 1 具体行列式的计算 二、降阶法（消减展开法） 【P38，例4，（解法三） 】 【练习】 【P43，例9】 【P39，例5】 步骤：（1） 将某行（列）消为只剩一个非零元素。 （2） 按照该行（列）展开。 三、展开规则的推论（P39，定理1.5） 四、范德蒙行列式 【P37,例3（改）】 【P37,例3（原解法）】 【P45，例11】 【P46,例】 定义:余子式 和代数余子式 在 阶行列式 中，将 所在的行和 列划去后余下的 阶行列式称为元素　 的余子 式。记作 . 称为元素 的代数余子式。 记作 即 例如 已知 ，求 和 注: 2.某元素的余子式和代数余子式只与该元素的位置有关, 与其取值无关。 1. 代数余子式是加了符号的余子式 。 【P33，例1】 依行（列）展开法的定义 n 阶行列式Ｄ的值等于它任一行(列)的各元 　　　　素与其对应的代数余子式乘积的和。　　 解法一 【P38，例4】 解法二： 解法三：降阶法处理具体行列式 展开降阶法处理具体行列式的步骤： 1 将某行（列）消为只剩一个非零元素形式。 2 按照该行（列）展开 【练习】 计算行列式 解： ×2 ×1 =12 ×1 解： 【P39，例5】 【P43，例9】 即 即 故 而 依行（列）展开法的推论： 行列式D 中任一行(列)的各元素与另一行(列)的 对应元素的代数余子式的 乘积和为零。 若 仍代表 中相应的代数余子式，则 【P37,例3（改）】 求 已知 解 教材原解法 【P45，例11】 * *