10代数结构－同态与同构11 9.ppt

上次课主要内容： 设A＝｛ a , b, c ｝, A上的三个二元运算 * o ? 如表所示 * a b c o a b c ? a b c a a b c a a b c a a b c b b c a b b b b b a b c c c a b c c b c c a b c 如何从运算表中得到运算的运算律及特殊元素 ＊：满足交换律、结合律、消去律、幺元为a、无零元、每个元素可逆。 o ：满足交换律、结合律、等幂律、幺元为a、零元b、 a可逆 ? ：满足结合律、等幂律、无零元、每个元素不可逆 注：用运算表给出的二元运算中各种特殊元素的特点： 交换律：关于主对角线对称 等幂律：主对角线元素与行列标相同 幺元：所在行列元素分别与列行标相同 零元：行列与行列标相同 可逆元：表中的幺元所对应的行列标元素互为可逆元 代数系统又称：代数结构 1． 一个集合，叫做代数的载体。 2． 定义在载体上的运算 3． 载体的特异元素，叫做代数常数 如幺元、零元、等幂元等 代数通常用由载体、运算和特殊元素组成的n重组表示 代数系统 1、定义9．12 非空集合S和S上k个一元或二元运算fl，f2，…，fk组成的系 统称为一个代数系统，简称代数，记作： S ，f1，f2，…，fk ． 例如 N，+ ， Z，+，· ， R，+，· 都是代数系统， M(R)，+， * 其中 + 和 * 分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法 将特殊元素也放在系统中V2 ＝ P(S)，∪，∩，一，? ，S V1 ＝ R ，＋ ，＊，一，0 ，1 V3 ＝ 命题公式集合，∧，∨，┓，F ，T Zn ，+n ，*n 是代数系统， 其中 Zn ＝ { 0，1， 2 ，… n-1 }，+n 和 *n 分别表示模n的加法和乘法 对于?x，y∈Zn ，x +n y = ( x + y) mod n x *n y = ( x * y ) mod n 2、同类型的代数系统 定义9．13 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统． 如：代数系统 V2 ＝ P(S)，∪，∩，一，? ，S V1 ＝ R ，＋ ，＊，一，0 ，1 V3 ＝ 命题公式集合，∧，∨，┓，F ，T 均为同类型的代数系统 注：同类型的代数系统并不是说它们的代数性质相同，仅说明它们的代数成分相同。 如上面的VI与V2的代数性质是不相同的，而V2与V3的代数性质是相同的。 通常我们不去研究单个具体的代数，而是一个种类一个种类地去研究代数 什么样的两个代数算是同一种类的？ 1：要有相同的构成成分 如果两个代数包含有同样个数的运算和常数且对应运算的元数相同，则称两个代数有相同的构成成分 两个代数有相同的构成成分，还不一定有本质的联系 2：要有一组相同的称为公理的性质(运算律） 每一公理是用载体元素和代数运算的符号写成的方程（前面关于运算律的表示方法） 具有相同构成成分和服从相同公理集合的代数称为同种类的 对同一种类的代数，根据它的公理集合推出的一切定理对该种类的一切代数都成立 2）相同代数性质(同种类）的代数系统 引入代数系统的主要目的是研究具有相同代数性质的代数系统，将相同代数系统归类，并分析该类代数系统的性质。 代数系统 V ＝ S ， * 其中 * 是一个可结合的二元运算 就代表了一类特殊的代数系统——半群． 许多具体的代数系统，如Z，十，0，R，+，0， M(R)，*，E ， P(B)，∪，Φ等都是同类型代数系统（半群） 代数系统 V＝ S ，0 ，* ，其中 0和* 是二元运算，并满足 交换律、结合律、幂等律和吸收律，